Propriétés des racines, exposants rationnels et équations irrationnelles
Trouve la racine d'un quotient et la racine d'une racine, compare des racines de degrés différents, et résous une équation avec une racine carrée en élevant au carré, en vérifiant la condition et en posant un changement de variable.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Portugal : classe 9
- Italie : classe 8
- Russie : classe 10
- Ukraine : classe 10
Conseils pour les adultes
En France, la racine carrée se travaille en 4e, en 3e et en 2de. Les racines n-ièmes et les exposants rationnels ne figurent pas au programme du collège ni de la voie générale du lycée : ce thème est proposé en prolongement, après les puissances et les racines carrées.
Pour a ⩾ 0 et b > 0 : ⁿ√(a ÷ b) = ⁿ√a ÷ ⁿ√b, ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a, (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ). Un facteur peut entrer sous la racine : a × ⁿ√b = ⁿ√(aⁿ × b). Pour comparer des racines de degrés différents, on les met sous le même indice.
Pour a > 0 : amn = (n√a)m, et les règles de calcul sur les puissances restent valables : ap·aq = ap + q, (ap)q = apq.
Pour résoudre √f(x) = g(x), on élève les deux membres au carré, puis on vérifie que g(x)⩾0 : une racine carrée n'est jamais négative. Une autre méthode est de poser un changement de variable.