Polygones réguliers et cercle exinscrit d'un triangle
Trouve le côté et l'apothème d'un polygone régulier à partir du rayon du cercle circonscrit ou du cercle inscrit, puis le rayon du cercle exinscrit d'un triangle.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Portugal : classe 9
- Italie : classe 7
- Russie : classe 9
- Ukraine : classe 9
Conseils pour les adultes
Le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle aigu s'étudient en 4e (triangle rectangle) et les polygones réguliers au cycle 4. Les formules du côté et de l'apothème d'un polygone régulier en fonction de R et de r sont un prolongement ; le cercle exinscrit d'un triangle ne figure pas au programme français. Un polygone régulier est inscrit dans un cercle et circonscrit à un autre ; ces deux cercles ont le même centre. On note R le rayon du cercle circonscrit, r le rayon du cercle inscrit (l'apothème) et n le nombre de côtés.
On a alors an = 2Rsin(180°/n), r = Rcos(180°/n) et, en fonction de r, an = 2rtan(180°/n). L'aire est S = 12Pr, où P est le périmètre.
Le cercle exinscrit d'un triangle est tangent à un côté et aux prolongements des deux autres. Son rayon est ra = Sp − a, où S est l'aire, p le demi-périmètre et a le côté auquel le cercle est tangent.
Les figures sont à l'échelle : 1 carreau représente 1 cm.