Tangentes à un cercle et théorème de la bissectrice
Démontre que les deux tangentes issues d'un point extérieur à un cercle ont la même longueur, et découvre que la bissectrice d'un angle d'un triangle coupe le côté opposé dans le rapport des deux autres côtés.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Allemagne : classe 9
- Portugal : classe 9
- Italie : classe 9
- Royaume-Uni : Year 11
- Russie : classe 8
- Ukraine : classe 8
- Iran : classe 11
- Syrie : classe 11
Conseils pour les adultes
Ce thème ne figure pas au programme français du collège : la tangente à un cercle et la propriété du rayon perpendiculaire à la tangente se rencontrent au lycée, et le théorème de la bissectrice n'est pas un résultat de cours. La démonstration utilise les triangles égaux (cycle 4) et la rédaction en prose guidée.
D'un point extérieur à un cercle, on peut mener deux tangentes au cercle. En déplaçant le point, on constate que les deux tangentes ont toujours la même longueur ; mais mesurer, ce n'est pas démontrer. Pour la démonstration, on utilise les triangles rectangles OAP et OBP : une tangente est perpendiculaire au rayon, et deux rayons sont égaux.
La bissectrice de l'angle A du triangle ABC coupe [BC] en D, et BDDC = ABAC. Le rapport des deux morceaux du côté opposé est égal au rapport des deux côtés de l'angle ; D n'est pas le milieu.
La longueur de la bissectrice est donnée par AD2 = AB×AC − BD×DC.