Courbes de y = ⁿ√x et puissances à exposant rationnel
Compare les courbes de ³√x, ⁴√x et √x, trouve l'ensemble de définition d'une racine n-ième et d'une puissance à exposant rationnel, et compare des nombres grâce au sens de variation.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Allemagne : classe 9
- Portugal : classe 8
- Italie : classe 9
- Espagne : classe 8
- Russie : classe 10
- Ukraine : classe 10
Conseils pour les adultes
Ce thème dépasse le programme français du collège et de la 2de, qui ne retient que la fonction racine carrée et les puissances d'exposant entier ; cet atelier propose les racines n-ièmes et les exposants rationnels comme prolongement. La racine n-ième d'un nombre positif a se note ⁿ√a. La fonction y = ²ᵏ⁺¹√x (racine cubique, par exemple) est définie sur ℝ tout entier : sa courbe passe par l'origine, elle est impaire et croissante sur ℝ, son ensemble de définition et son ensemble des images sont ℝ.
La fonction y = ²ᵏ√x (racine carrée ou racine quatrième, par exemple) est définie sur [0 ; +∞[ : son ensemble des images est aussi [0 ; +∞[, elle est croissante, ni paire ni impaire, et sa courbe part du point de coordonnées (0 ; 0).
La fonction y = xr avec r rationnel est une fonction puissance à exposant rationnel. Si la fraction irréductible mn est positive, l'ensemble de définition est [0 ; +∞[ ; si elle est négative, c'est ]0 ; +∞[.
Une fonction croissante conserve l'ordre : pour a et b positifs ou nuls, a < b donne ⁿ√a < ⁿ√b.