Fonctions polynômes : comportement aux bornes, zéros et expressions
Lis le comportement aux bornes avec le degré et le coefficient dominant, distingue zéros simples et zéros doubles, résous une équation bicarrée et trouve une expression à partir d'une courbe.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Allemagne : classe 10
- Portugal : classe 9
- Italie : classe 9
- Espagne : classe 11
- Ukraine : classe 8
Conseils pour les adultes
Une fonction polynôme f(x) = anxn + … + a0 se comporte comme son terme de plus haut degré anxn quand |x| est grand. Degré pair : les deux extrémités vont dans le même sens ; degré impair : elles vont en sens opposés. Le signe de an dit si l'extrémité de droite monte ou descend. Ce thème se travaille en 1re (spécialité) et en Terminale (limites en ±∞).
Si le facteur (x − x0) apparaît deux fois, x_0 est un zéro double : la courbe touche l'axe des abscisses sans le traverser. Un zéro simple est traversé.
Une équation comme x4 − 5x2 + 4 = 0 est une équation bicarrée. On pose z = x2, on résout z2 − 5z + 4 = 0, puis on revient à x : x2 = z.
Quand on connaît les zéros, on écrit f(x) = a×(x − x1)(x − x2)… et on trouve a avec un point de plus.