Explorateur
Tous les ateliers, du plus facile au plus difficile.
Nombres et numération
347
- comptage et comparer jusqu'à 10Associe des pommes une à une, compte-les et compare. Découvre ensuite les signes <, > et =.Joue et apprends avec la huppe
- Les nombres jusqu'à 20 : une dizaine et des unitésLis et construis les nombres de 10 à 20 avec deux cadres à dix. Un de plus, le nombre entre deux nombres, et premier, deuxième, troisième.Joue et apprends avec la huppe
- Droite graduée, compter de n en n, pair et impairRepère des nombres sur une droite graduée, compte de 2 en 2, de 5 en 5 et de 10 en 10, et découvre les nombres pairs et impairs.Joue et apprends avec la huppe
- Dizaines et unités : les nombres jusqu'à 100Regroupe dix unités en une dizaine. Construis et lis des nombres jusqu'à 100 avec des dizaines et des unités.
- Centaines et milliers : valeur des chiffres et décompositionConstruis, lis et écris des nombres jusqu'à 10 000 avec du matériel de numération, décompose-les selon la valeur de leurs chiffres et compare-les en partant du rang le plus élevé.
- Grands nombres, arrondis et ordres de grandeurLire et construire des nombres jusqu'aux millions par classes de trois chiffres, arrondir à la dizaine, à la centaine ou au millier près en regardant le chiffre suivant, et estimer une somme avant de la calculer.
- Valeurs approchées : à la dizaine et à la centaineTrouve la dizaine ou la centaine la plus proche d'un nombre et calcule un ordre de grandeur d'une somme ou d'une différence, sans calcul exact.
- Nombres négatifs et nombres relatifsProlonge la droite graduée à gauche de zéro. Représente des températures en dessous de zéro et des profondeurs sous le niveau de la mer, puis additionne et soustrais avec des bonds.
- Arrondir des nombres décimauxZoomer entre les deux voisins d'un nombre et voir lequel est le plus proche : arrondi à l'unité, au dixième et au centième. Puis trouver tous les nombres qui ont le même arrondi.
- Diviseurs, multiples et nombres premiersRange des jetons en rectangles pour trouver les diviseurs d'un nombre. Découvre pourquoi certains nombres ne font qu'un seul rectangle.
- Divisibilité, PGCD, PPCM et puissancesColorie les multiples sur une grille de cent cases pour découvrir les critères de divisibilité. Puis multiples et diviseurs communs, carrés et puissances.
- Multiplier et diviser des nombres relatifs ; distance à zéroMultiplie et divise des nombres négatifs avec des bonds sur la droite graduée, trouve la régularité qui se cache derrière la règle des signes, et mesure la distance à zéro.
- Nombres rationnels : ordre et opérationsPlace des fractions et des décimaux négatifs sur une même droite graduée, compare-les, puis additionne-les et multiplie-les comme des déplacements et des réductions.
- Le crible des nombres premiersÉcris les nombres de 1 à 50 et barre les multiples jusqu'à ce qu'il ne reste que les nombres premiers, puis découvre où s'arrêter.
- Soustraire un nombre négatifTransforme chaque soustraction en addition, vois la soustraction d'un nombre négatif sur la droite graduée, et calcule des différences de nombres à deux chiffres avec les dizaines et les unités.
- Puissances de nombres négatifs et doublementRespecte les priorités opératoires avec des puissances, comprends la différence entre (−3)² et −3², et vois pourquoi des doublements répétés donnent très vite de grands nombres.
- Facteurs premiers, PGCD, PPCM et racines exactesDécompose deux nombres en facteurs premiers avec des arbres. Construis le PGCD et le PPCM à partir des facteurs premiers, et trouve des racines carrées et cubiques en regroupant les facteurs par deux ou par trois.
- Les règles de calcul sur les puissancesÉcris des puissances comme des produits de facteurs sur une barre de fraction : pour multiplier, on met les facteurs ensemble ; pour diviser, on simplifie les facteurs égaux en haut et en bas.
- Diviser des nombres rationnelsTrouve l'inverse d'un nombre rationnel et transforme des divisions de nombres relatifs en multiplications. Vois pourquoi diviser par zéro n'a pas de sens.
- Racines n-ièmes et puissances rationnellesDécouvre les racines n-ièmes grâce aux puissances : racines d'indice pair ou impair, produit de racines, puis puissances fractionnaires comme 2713 et 823.
- Écriture scientifiqueFaire glisser les chiffres avec ÷ 10 et × 10 jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un chiffre non nul avant la virgule, et voir que l'exposant de la puissance de 10 compte les glissements.
- Encadrer une racine carrée ; nombres irrationnels sur la droiteEncadre une racine carrée entre deux entiers, resserre l'encadrement au dixième et au centième en calculant des carrés, et distingue les nombres rationnels des irrationnels sur la droite des réels.
- Les radicaux et leur simplificationDécompose le nombre sous une racine en facteurs et sors chaque paire : √12 = 2√3. Multiplie des racines, additionne des racines semblables et rends un dénominateur rationnel.
- L'algorithme d'Euclide pour le plus grand commun diviseur (PGCD)Trouve le plus grand commun diviseur (PGCD) de deux nombres avec une suite de divisions, sans écrire la liste des diviseurs.
- Valeur absolue des nombres réels et calcul approchéVois la valeur absolue comme une distance à l'origine, reconnais les trois cas a positif, nul et négatif, compare la valeur absolue d'une somme à la somme des valeurs absolues, et calcule avec des racines approchées.
- Propriétés des racines, exposants rationnels et équations irrationnellesTrouve la racine d'un quotient et la racine d'une racine, compare des racines de degrés différents, et résous une équation avec une racine carrée en élevant au carré, en vérifiant la condition et en posant un changement de variable.
- Les nombres en lettres : dizaines de mille, centaines de mille et milliardsConstruire et lire de grands nombres : des nombres à cinq chiffres, cent mille, et des nombres au-delà du million.
- Racines : carrées, cubiques et leurs signesCompte les nombres dont le carré est un nombre positif, vois pourquoi un nombre négatif n'a pas de racine carrée mais a une racine cubique, et pourquoi la racine carrée d'un carré est une valeur absolue.
- Arrondir sur la droite graduéePlace le nombre sur la droite graduée et vois de quelle dizaine, de quelle centaine ou de quel millier il est le plus proche. Un nombre exactement au milieu s'arrondit au nombre du dessus.
- Les nombres en lettresConstruis des nombres à deux et trois chiffres avec des dizaines et des unités, puis lis-les et écris-les en lettres.
- Divisibilité dans les entiersLa division euclidienne, les propriétés de la divisibilité et le PGCD écrit comme combinaison des deux nombres.
- Tableau des nombres et comptage de n en nCompte de 3 en 3, de 4 en 4, de 6 en 6 et de 7 en 7 sur un tableau de nombres, et découvre l'addition répétée avec des barres.
- Congruences dans les entiersDes nombres qui ont le même reste dans la division par n sont congrus. Découvre comment calculer avec eux.
- Valeur de position dans les nombres décimauxÉcris et lis des nombres décimaux dans un tableau de numération avec les unités, les dixièmes et les centièmes. Construis-les en écriture décomposée et compare-les.
- Valeurs approchées : arrondir et tronquerDonne une valeur approchée d'un nombre à l'unité, au dixième ou à la centaine, par arrondi ou par troncature. Reconnais l'arrondi, approche une fraction et estime un produit.
- Valeurs approchées et erreurTrouve l'erreur absolue et l'erreur relative, compare la précision de mesures et encadre l'erreur d'une somme.
- Décompositions de 6 à 9 et le zéroPartage les nombres 6, 7, 8 et 9 en deux parties avec des jetons. Puis découvre ce qui se passe quand on enlève tout, ou rien.
- La carte des décompositions et les bandesÉcris les deux parties qui font 6 et construis une bande de 7 cases.
- Propriétés de la racine carréeCalcule des racines carrées de carrés, de produits, de quotients et de puissances avec les propriétés de la racine carrée.
- Les entiers naturels et la demi-droite graduéeTrouve le nombre qui précède un entier, vois pourquoi il n'y a pas de plus grand entier, place le point K d'abscisse 5 sur une demi-droite graduée et lis une graduation.
- Division euclidienne, divisibilité par 9 et par 3Comprends pourquoi le reste est plus petit que le diviseur, reconstruis le dividende avec a = b × q + r et teste la divisibilité par 9 et par 3 avec la somme des chiffres.
- Racines imbriquées : √(a ± 2√b)Fais disparaître une racine carrée placée sous une autre racine : écris l'expression comme le carré d'une somme ou d'une différence et trouve les deux nombres avec leur somme et leur produit.
- Comparer et ranger de grands nombresCompare des nombres jusqu'au million rang par rang, range-les dans l'ordre et ajoute des milliers entiers.
- Nombres binaires et chiffres romainsLis et écris des nombres binaires avec les valeurs de position 1, 2, 4, 8, 16, et compare les chiffres romains à notre numération de position.
- Distance entre deux points et équations avec valeur absolueTrouve la distance entre deux points de la droite graduée avec |a − b| et résous des équations |x − a| = b en plaçant des points.
- Divisibilité d'une somme, d'une différence, d'un produit ; critères pour 4, 8, 6 et 11Décide si une somme, une différence ou un produit est divisible sans le calculer, et utilise les critères de divisibilité par 4, 8, 6 et 11.
- Méthode de Héron et nombres irrationnelsApproche une racine carrée avec la méthode de Héron (un rectangle qui devient un carré), puis vois pourquoi √2 n'est pas une fraction.
Calcul
30
- Additionner et soustraire jusqu'à 10Réunis des pommes, enlève-en et compare. Puis fais 10 avec deux nombres.
- Calculer jusqu'à 20 : passer la dizaine et familles de calculsComplète d'abord la dizaine, puis ajoute le reste. Additionne trois nombres, change l'ordre des nombres et trouve les quatre calculs d'une famille.
- Calcul mental : additionner et soustraire avec des bondsReprésente chaque addition et chaque soustraction par des bonds sur une droite graduée : les dizaines puis les unités, ou d'abord jusqu'à la dizaine suivante.
- Groupes égaux : multiplier et diviserRange des pommes en groupes égaux, construis des tableaux et vois comment la multiplication et la division vont ensemble.
- Les tables de multiplicationApprends les tables de multiplication avec des images et entraîne-toi dans un petit jeu : d'abord 2, 5 et 10, puis 0 et 1, puis les autres tables jusqu'à 10 × 10.
- Multiplier et diviser par 10, 100 et 1000Quand on multiplie par 10, chaque chiffre avance d'un rang vers la gauche ; quand on divise par 10, il recule d'un rang vers la droite. Observe-le sur le tableau de numération, d'abord avec des nombres entiers, puis avec des nombres décimaux.
- Additions et soustractions posées en colonnesPose les nombres en colonnes et calcule colonne par colonne : écris la retenue dans la colonne suivante, échange une dizaine avec la colonne voisine et vérifie ton résultat.
- La multiplication poséeMultiplie en posant l'opération : par un nombre à un chiffre avec des retenues, par un nombre à deux chiffres avec deux lignes et le zéro du décalage, puis avec des nombres décimaux.
- Division euclidienne et division poséePose une division chiffre par chiffre, découvre ce qu'est un reste et comment l'utiliser dans un problème, puis vérifie une division avec une multiplication.
- Pour aller plus loin : additionner et soustraire avec un boulierAdditionne et soustrais des nombres à deux chiffres en déplaçant des boules sur un boulier. Échange dix boules d'unités contre une boule de dizaines, et inversement.
- Multiplier des nombres ronds et calculer avec des nombres décimauxMultiplier des nombres qui se terminent par des zéros (40 × 30, 650 × 300), additionner et soustraire des nombres décimaux en colonnes, et multiplier deux nombres décimaux en comptant les chiffres après la virgule.
- Multiplication posée par un nombre à plusieurs chiffres et par un nombre rondPose la multiplication par un nombre à trois chiffres, par un nombre avec un zéro et par un nombre rond, en utilisant les produits partiels.
- Multiplier avec du matériel : décomposer en partiesD'abord les dizaines entières, puis un nombre à plusieurs chiffres par un nombre à un chiffre avec des plaques, des barres et des cubes : on multiplie chaque partie et on additionne.
- Addition et soustraction de nombres à quatre chiffres avec des cubes de milleAdditionner et soustraire des nombres à quatre chiffres dans le tableau de numération avec des unités, des dizaines, des centaines et des milliers, en échangeant dix contre un de la colonne suivante.
- Compter de 7 en 7 et problèmes de multiplicationCompter de 7 en 7 et de 200 en 200, les problèmes « deux fois plus », les cartons de feuilles et les problèmes de vitesse avec une machine qui multiplie.
- Les parties d'une égalité : termes, somme, différenceAdditionne et soustrais par étapes sur une droite graduée, nomme les parties d'une égalité et soustrais en passant par l'addition.
- Terme inconnu et changement de la sommeTrouve le terme inconnu d'une addition ou d'une soustraction avec une règle, compare des calculs sans les effectuer et observe comment change la somme.
- Nombres à deux chiffres : dizaines et unités, décomposer, passer par la dizaineAdditionne et soustrais des nombres à deux chiffres en séparant les dizaines et les unités ou en décomposant, et calcule 38 + 9 en passant par 10, puis en enlevant le 1 en trop. Niveau : CE1 ; les procédures de calcul mental du CE2 sont dans une autre série.
- La table de Pythagore et la façon dont les résultats dépendent des nombresExplore la table de multiplication, multiplie et divise à la suite, et vois comment un produit et un quotient dépendent de leurs nombres.
- Calcul mental : par rang, par compensation, en décomposantAdditionner par rang et par compensation, diviser en décomposant le nombre, et diviser des nombres ronds en dizaines. Calcul mental du cycle 3 ; les nombres à deux chiffres du cycle 2 sont dans un autre atelier.
- Calculer malin : multiplier et diviserMultiplier et diviser par 5, 25, 50, 11, 101, 9 et 99 de façon astucieuse, en passant par 10 ou par 100.
- Propriétés des opérations et calcul réfléchiUtilise la commutativité, l'associativité et la distributivité pour calculer astucieusement, et réduis des expressions avec des nombres relatifs.
- Expression, égalité, inégalitéDistingue les expressions, les égalités et les inégalités, barre les égalités fausses et compare des expressions sans calculer. Les signes =, < et >.
- Division euclidienne par 10 et par 100Divise par 10 et par 100 en masquant des chiffres à droite, puis divise des nombres qui se terminent par des zéros en supprimant le même nombre de zéros.
- Les chaînes de calculsSuis les flèches : un nombre dans le rond, un calcul sur l'étiquette. Trouve le nombre à la fin de la chaîne et retrouve une étiquette effacée.
- Les tables d'additionLis les tables d'addition de 1, 2, 5 et 7, cache les résultats et écris-les. Puis découvre les sommes de la deuxième dizaine.
- Soustraire 6, 7, 8, 9Remplace le premier nombre par une somme bien choisie, dont un terme est égal au nombre qu'on enlève. Il reste alors l'autre terme.
- Ajouter et soustraire une sommeAjoute une somme à un nombre, soustrais une somme d'un nombre ou un nombre d'une somme, et écris les égalités avec des parenthèses.
- Multiplier et diviser par partiesMultiplie et divise des nombres à deux chiffres par un nombre à un chiffre en décomposant le nombre en parties faciles, puis vérifie avec l'opération inverse.
- Vérifier un calcul : ordre de grandeur et opération inverseTrouve un ordre de grandeur avant de calculer, pose l'opération en colonnes, vérifie avec l'opération inverse et décide si un résultat (celui d'une calculatrice aussi) est vraisemblable.
Fractions
18
- Qu'est-ce qu'une fraction ?Partage une unité en parts égales et écris avec une fraction combien de parts tu as prises.
- Fractions sur une droite graduéeLes fractions sont aussi des nombres, et chacune a sa place sur la droite graduée. Partage l'espace de 0 à 1 en parts égales et place des points.
- Fractions égalesUne même quantité peut s'écrire avec des fractions différentes. Observe comment la fraction change quand les parts deviennent plus petites ou plus grandes, alors que la quantité reste la même.
- Comparer des fractionsQuelle fraction est la plus grande ? Place les bandes l'une sous l'autre et regarde laquelle est coloriée le plus loin.
- Additionner et soustraire des fractionsPlace des fractions sur des bandes, additionne-les et soustrais-les. Quand les dénominateurs sont différents, rends d'abord les parts de même taille.
- Multiplier et diviser des fractionsAvec des bandes, vois que multiplier par une fraction, c'est « combien de fois » ou « quelle fraction de », et que diviser par une fraction, c'est « combien de fois elle tient ».
- Les nombres décimauxTrouve les dixièmes et les centièmes sur la droite graduée, et vois comment on écrit et on lit les nombres décimaux.
- La division et les fractionsPose une division chiffre par chiffre, et vois que toute fraction est une division que l'on peut écrire avec une virgule.
- Une fraction d'une quantitéPartage des pommes équitablement et prends quelques parts. Puis agrandis et réduis une recette.
- Les pourcentages : fractions, nombres décimaux et pourcentages« Pour cent » veut dire « sur cent ». Utilise la grille de 100 cases et une barre de 100 % pour voir qu'une fraction, un nombre décimal et un pourcentage sont trois écritures d'une même quantité.
- Multiplier et diviser des nombres mixtesUtilise des bandes pour voir comment on multiplie et on divise des nombre mixtes, et quelle opération on calcule en premier.
- Divisions décimales et écritures décimales illimitéesTransforme une division de décimaux en division de nombres entiers, continue de diviser jusqu'à voir les chiffres se répéter, puis retrouve la fraction d'un nombre à écriture décimale illimitée.
- Fractions à plusieurs étagesUne fraction dont le numérateur ou le dénominateur est une fraction : partage une fraction sur une bande, compte des fractions dans des fractions, et divise en retournant la fraction du dessous.
- Soustraire des nombres mixtes et calculer avec des fractionsSoustrais des nombres mixtes, « ouvre » un entier quand il le faut, calcule des expressions avec des fractions à plusieurs étages et agrandis une recette.
- Une fraction d'une quantité, et la quantité à partir de sa fractionCalculer une fraction d'une quantité (un quart de 20) et retrouver la quantité quand on connaît sa fraction : d'abord une part, puis le tout ou plusieurs parts.
- Fractions supérieures à 1, retrouver le tout, pourcentage de deux nombres, valeur approchéeReprésente une fraction supérieure à 1 sur des bandes, retrouve le tout à partir d'une partie ou d'un pourcentage, exprime en pourcentage le rapport de deux nombres et arrondis une fraction au centième. Thème : CM1 à 5e ; le calcul d'une fraction d'un nombre est dans une autre étude.
- Les fractions d'unités de mesureQuelle partie d'un mètre est 6 cm, et quelle partie d'une année sont 3 mois ? Exprime une fraction d'une unité avec une unité plus petite et compare-la avec une mesure.
- Un cinquième et un dixièmePartage un tout en 5 et en 10 parts égales, compare 15 et 110, et trouve un cinquième et un dixième d'une quantité.
Rapports et proportionnalité
17
- Ratio et partage dans un ratioAvec des barres de deux couleurs, vois ce que veut dire 2 : 3, simplifie des ratios et partage une quantité dans un ratio donné.
- Proportionnalité et passage par l'unitéUtilise un tableau de proportionnalité pour trouver une quantité manquante : d'abord la quantité pour un, puis pour un nombre quelconque. La proportionnalité inverse vient en dernier.
- Coefficient d'agrandissement et figures semblablesAgrandis une figure avec un coefficient, repère des figures semblables, trouve un coefficient et construis une figure semblable à partir d'un côté.
- Évolutions en pourcentage, coefficient multiplicateurs et pourcentage réciproqueLe prix de départ est une barre de 100 %. Une hausse allonge la barre (120 %), une baisse la raccourcit (85 %). Avec les barres, trouve des coefficients multiplicateurs, des taux d'évolution et des prix de départ.
- Grandeurs quotients, prix unitaire et masse volumiqueAvec un tableau de proportionnalité, trouve la valeur « pour un » : le prix d'un kilogramme, les litres pour un euro et la masse d'un centimètre cube.
- Plans et cartes à l'échelleMesure sur une carte et sur le plan d'une pièce avec une règle, et utilise l'échelle pour trouver les vraies dimensions.
- Graphiques de proportionnalité et de proportionnalité inverseTrace une situation de proportionnalité à partir d'un tableau, trouve le coefficient k avec un point, ajuste y = k/x sur un point avec un curseur, repère le graphique d'une situation de proportionnalité et trace une situation de proportionnalité inverse.
- Prolongement : proportionnalité composéeDans une proportionnalité composée, trois grandeurs changent ensemble. Dans le tableau, change une seule grandeur à la fois et décide si chaque changement est direct ou inverse.
- Distance, vitesse, durée : d = v × tTrouve la distance, la vitesse et la durée avec un tableau et avec les formules d = v × t, v = d ÷ t, t = d ÷ v.
- Deux mobiles en mouvement et travail à deuxTrouve la distance entre deux mobiles qui se déplacent en même temps, puis la durée d'un travail fait à deux, à l'aide d'un tableau et d'un plan de résolution. Thème : problèmes de vitesse, de durée et de distance avec deux mobiles, et partage d'un travail.
- Partage proportionnel et grandeur identiqueRésous des problèmes avec le tableau prix, quantité, coût : partage proportionnel, et recherche du prix à partir de deux différences ou de deux sommes.
- Quatrième proportionnelle et retour à l'unité doubleRésous des problèmes de proportionnalité par la méthode des rapports et par le retour à l'unité, puis des problèmes où deux grandeurs changent.
- Agrandissement et réduction : longueurs, aires, volumesQuand on agrandit ou réduit une figure avec le coefficient k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³. Utilise un tableau de proportionnalité pour trouver la grandeur qui manque.
- Le travail : production par heure, durée, production totaleRésous des problèmes de travail : production par heure × durée = production totale, avec un tableau puis avec le schéma en triangle.
- La quatrième proportionnelle : la grandeur qui ne change pasRésous des problèmes avec une grandeur qui reste la même (la masse d'une caisse, un prix, une masse totale) : cherche-la d'abord, puis réponds à la question.
- Mouvement et travail à deuxRésous avec un même plan des problèmes de déplacements simultanés et de travail à deux : vitesse × temps = distance, production par heure × temps = production totale.
- Pourcentages : le tout, la partie, le tauxTrouve la partie, le taux p % ou le tout avec la bande des pourcentages, la règle de trois et le calcul « tout × p % ».
Argent
7
- Pièces et billetsReconnais les pièces et les billets, fais une somme d'argent de plusieurs façons et découvre que plus de pièces ne veut pas dire plus d'argent.
- Faire ses achats et rendre la monnaieAdditionne les prixs d'un panier, paie, puis trouve la monnaie à rendre en complétant.
- Les pourcentages et l'argent : remises, bénéfices et pertesUtilise une barre de 100 % pour voir de combien une remise baisse un prix, et quel pourcentage du prix d'achat un vendeur gagne ou perd.
- Intérêts simples et intérêts composésSuis un placement année après année : avec les intérêts simples, on ajoute chaque année la même somme ; avec les intérêts composés, on multiplie chaque année par le même nombre. Puis observe une valeur qui baisse chaque année.
- TVA, escompte, prix de vente et pour millePrix hors taxes et prix toutes taxes comprises avec une TVA de 19 % et de 7 %, remise suivie d'un escompte, calcul du prix de vente, et pour mille.
- Pourcentage et points de pourcentageVoir la différence entre « a augmenté de 5 % » et « a augmenté de 5 points de pourcentage » : un taux qui passe de 20 % à 25 %, la part des très bons élèves, un problème de banque.
- Prêts : remboursement par amortissements constants et par annuitésEmprunte une somme et observe la dette qui grossit puis diminue : remboursée par parts égales de la dette, ou par versements égaux. Compare ce que l'emprunteur paie au total.
Grandeurs et mesures
33
- Comparer : plus long, plus lourd, plus pleinQuel objet est le plus long ? Le plus lourd ? Mesure avec des trombones, des empans et des verres.
- Mesurer des longueurs, des masses et des contenancesMesure avec une règle, une balance et un verre mesureur. Estime d'abord, puis mesure.
- Horloges et calendriersFais tourner les aiguilles d'une horloge, écris une heure de l'après-midi sur 24 heures et repère des jours sur un calendrier.
- périmètre et aireFais le tour d'une figure pour trouver son périmètre, recouvre-la de carreaux pour trouver son aire, et vois que deux figures de même aire peuvent avoir des périmètres différents.
- Les quarts d'heure et l'ordre du tempsPlace les aiguilles pour « et quart » et « moins le quart », écris une heure de deux façons et compare deux durées.
- Convertir des unitésConvertis des mètres en centimètres, des grammes en kilogrammes et des litres en millilitres. La bande de conversion t'aide.
- Aire des triangles, parallélogrammes, trapèzes et disquesDéplace des morceaux pour voir pourquoi l'aire d'un parallélogramme est base × hauteur, pourquoi celle d'un triangle en est la moitié, complète un trapèze avec une copie de lui-même et estime l'aire d'un disque.
- volume des pavés droitsConstruis des boîtes avec des cubes-unités, compte les cubes couche par couche et vois pourquoi le volume d'un pavé droit est longueur × largeur × hauteur.
- Pour aller plus loin : lire la température sur un thermomètreLis un thermomètre et place-le sur une température négative.
- Volume et aire d'un prisme droit et d'un cylindreFais tourner un prisme et un cylindre, trouve les base, remplis-les couche par couche pour voir pourquoi volume = aire de la base × hauteur, puis ouvre le patron pour calculer l'aire latérale et l'aire totale.
- Mesurer plus précisément, et une partie de l'unitéMesure avec ta propre unité, compte les petites parties d'un centimètre et trouve le milieu d'un trait.
- Pyramides, cônes, sphères et solides composésVerse une pyramide dans son prisme et une boule dans son cylindre pour voir d'où viennent le 13 et le 23. Ouvre un cône en secteur, trouve sa génératrice avec le théorème de Pythagore, puis calcule le volume et l'aire d'une tour.
- Tube, boîte de conserve et boîte : volumes et surfacesEnroule une feuille en tube et donne sa contenance en litres, compare la tôle nécessaire pour une boîte ronde et pour une boîte cubique, puis calcule le volume d'une boîte ouverte.
- Précision d'une mesure : bornes inférieure et supérieureUne mesure arrondie se trouve en réalité dans un intervalle. Trace cet intervalle, puis utilise les bornes pour trouver la plus grande et la plus petite valeur d'un résultat.
- Mesurer le temps : minutes et secondesTrouve une heure d'arrivée, calcule la durée entre deux horloges avec des flèches de temps, et convertis des secondes, des minutes et des heures.
- Kilomètres, contenance et masse de l'eauConvertis des mètres en kilomètres et inversement, distingue la contenance d'un récipient du volume de liquide qu'il contient, et découvre qu'un litre d'eau, c'est 1 000 cm³ et 1 kg.
- Aire d'un losange et d'un disqueTrouve l'aire d'un losange avec quatre triangles et avec ses diagonales, vois pourquoi un losange est la moitié du rectangle qui l'entoure, et calcule l'aire d'un disque à partir de ses secteurs puis avec la formule π × rayon × rayon.
- Mètres et centimètres, kilogrammes et grammes ensembleLis et écris des mesures avec deux unités (325 cm = 3 m 25 cm), choisis l'unité qui convient et lis un demi-centimètre sur la règle.
- Le décimètre et le calcul avec des longueursApprends que 1 dm = 10 cm, mesure des rubans en décimètres et additionne des longueurs en décimètres et en centimètres.
- Calculer avec des mesures en deux unitésAdditionner, soustraire, multiplier et diviser des mesures exprimées avec deux unités : on les écrit dans une seule unité, on calcule, puis on écrit le résultat avec deux unités.
- Aire d'un rectangle et unités d'aireTrouve l'aire d'un rectangle avec A = L × l, cherche un côté inconnu et apprends les unités d'aire : cm², dm², m², are, hectare.
- Les durées : additionner et soustraireConvertis des unités de temps plus grandes en plus petites, additionne ou soustrais, et écris le résultat avec deux unités. Trouve la durée d'un événement à partir de son début et de sa fin.
- Prismes, pavés et pyramides : propriétés, sections, troncCalcule la diagonale d'un pavé droit, le volume d'un prisme oblique, l'aire latérale d'une pyramide régulière, le volume d'un tronc de pyramide et trouve une section de pyramide.
- Sections d'un cylindre, d'un cône et d'une boule, équation de la sphèreTrouve la diagonale d'une section axiale, le rayon d'une section d'un cône et d'une boule, et lis le centre et le rayon dans l'équation d'une sphère.
- Prismes : problèmes avec des angles et des diagonalesTrouve la hauteur et l'arête latérale d'un prisme droit à partir d'une diagonale et d'un angle, calcule l'aire latérale et donne des résultats avec une racine.
- Pyramides : où se projette le sommetÀ partir d'arêtes latérales égales ou d'angles dièdres égaux, détermine sur quel point de la base se projette le sommet, puis calcule la hauteur et l'aire latérale.
- Volumes de solides : problèmesTrouve le volume d'une pièce d'après la montée de l'eau, le rayon d'une boule fondue et le volume d'un solide obtenu en faisant tourner un triangle ou un trapèze. Garde π dans la réponse.
- Périmètre d'un polygoneTrouve le périmètre du triangle ABC et du rectangle DMPK en additionnant les longueurs de tous les côtés.
- Longueur d'un arc, aire d'un secteur et aire d'un segmentTrouve la longueur d'un arc de n°, l'aire d'un secteur circulaire et celle d'un segment de disque, avec l = πRn/180 et S = πR²n/360.
- Secteur, arc et segmentUn secteur circulaire est α/360° d'un disque : trouve la longueur de son arc et son aire, trouve l'angle à partir de la longueur de l'arc, puis calcule l'aire d'un segment circulaire.
- Parties d'une boule et prisme obliqueTrouve l'aire d'une zone sphérique, le volume d'une calotte et d'un secteur de boule, et le volume d'un prisme oblique. Écris les réponses avec π : 20π se saisit 20π.
- Unités de masse, de vitesse et d'aireConvertis des tonnes, des quintaux et des kilogrammes, des km/h en m/s et des hectares en kilomètres carrés, et choisis l'unité qui convient.
- Quintaux, tonnes et sièclesConvertis des tonnes et des quintaux en kilogrammes et trouve à quel siècle appartient une année.
Espace et géométrie
82
- Figures planes et symétrieTrace un triangle et un carré sur le plateau de points, trouve les triangles et trace un axe de symétrie.
- Sommets, cercles, rectangles et symétrieCompte les sommets, trouve la figure sans sommet, trace un rectangle, plie une figure et partage un rectangle en parts égales.
- SolidesReconnais le cube, le pavé droit, le cylindre, le cône, la boule et la pyramide, compte les faces et les arêtes, et dessine un patron de cube.
- droite, demi-droite, segment et angleTrouve les demi-droites, trace des droites parallèles et perpendiculaires sur le papier pointé, et compare des angles avec l'angle droit.
- Triangles et quadrilatèresClasse les triangles selon leurs côtés et leurs angles, découvre la famille des quadrilatères et trace les diagonales d'un losange.
- Polygones et sommes d'anglesTrouve les polygones réguliers, découvre la somme des angles d'un triangle, puis découpe des polygones en triangles pour trouver leur somme d'angles.
- Mesurer des angles avec un rapporteurLire et construire des angles avec un rapporteur. Trouver des angles sur une droite, des angles opposés par le sommet et la bissectrice d'un angle.
- cercles : rayon, diamètre et πMesurer le diamètre et le rayon d'un cercle. Enrouler un ruban autour d'un cercle et chercher combien de diamètres font le périmètre.
- Constructions géométriques au compas et à la règleAvec le compas et la règle, reconnais une corde et un arc, construis la médiatrice et la bissectrice, et construis un triangle à partir de ses côtés.
- Angles et droites parallèleFais glisser et tourner deux droites parallèles et une sécante pour voir quels angles restent toujours égaux, lesquels ont pour somme 180° et ce qui se passe quand les droites ne sont pas parallèles. Puis utilise une parallèle pour montrer pourquoi la somme des angles d'un triangle est 180°.
- Inégalité triangulaire ; médianes, hauteurs et bissectricesConstruis un triangle avec trois baguettes et découvre quelles longueurs permettent d'obtenir un triangle. Puis teste une médiane, une hauteur et une médiatrice sur un triangle que tu déformes toi-même, et vois où se coupent toujours les trois médianes.
- Figures superposables et triangles égauxFais glisser, tourner et retourner une figure pour la poser sur une autre. Associe ensuite les sommets homologues de deux triangles, choisis le cas d'égalité, écris une démonstration ligne par ligne et fais glisser un contre-exemple qui montre qu'« deux côtés et un angle non compris » ne suffisent pas.
- Le théorème de Pythagore et sa réciproqueConstruis des carrés sur les côtés d'un triangle rectangle et compare leurs aires, vois pourquoi le théorème est vrai avec quatre copies du triangle, calcule un côté manquant, utilise la réciproque pour savoir si un triangle est rectangle, et place √2 sur une droite graduée au compas.
- Raisonner et démontrer en géométrieDéplace un triangle isocèle et vois que ses angles à la base restent toujours égaux. Puis démontre-le avec des justifications, sers-toi du résultat dans une nouvelle démonstration, et montre qu'une autre affirmation est fausse avec un contre-exemple.
- Le théorème de Thalès et les triangles semblablesFais glisser une droite parallèle à un côté d'un triangle et constate que les rapports qu'elle découpe sur les deux autres côtés restent égaux. Essaie ensuite la réciproque, les triangles semblables et le coefficient d'agrandissement.
- lieu géométriqueTrouve tous les points qui sont à une distance donnée d'un point, d'un segment, de deux points ou de deux côtés d'un angle, et regarde la figure qu'ils forment. Puis colorie, avec le compas, la région qui vérifie deux conditions à la fois.
- Droites et cercles, angles au centre et angles inscrits, tangentesFais glisser une droite devant un cercle et vois quand elle le coupe, quand elle le touche seulement et quand elle passe à côté. Rapproche deux cercles, fais tourner une tangente autour d'un cercle, et constate que l'angle inscrit est toujours la moitié de l'angle au centre.
- Cercle circonscrit, cercle inscrit, quadrilatère inscrit et longueurs dans un cercleConstruis le cercle circonscrit et le cercle inscrit d'un triangle et regarde où sont leurs centres. Fais ensuite glisser les sommets d'un quadrilatère inscrit dans un cercle et teste deux cordes qui se croisent : quelle relation reste toujours vraie ?
- Vues d'un solide et Pythagore dans l'espaceFais tourner une tour de cubes, reconnais sa vue de face, de droite et de dessus, et dessine-les sur une grille. Puis calcule la diagonale du pavé droit d'une boîte en utilisant deux fois le théorème de Pythagore.
- Complément : théorèmes sur le triangle rectangleDans un triangle rectangle qui a un angle de 30°, le côté opposé à cet angle est la moitié de l'hypoténuse ; la médiane issue de l'angle droit est elle aussi la moitié de l'hypoténuse. Observe les deux résultats, démontre-en un et utilise-les.
- Propriétés admises, segments et théorèmesConstate que par deux points passe une seule droite et que AB = AC + CB, trouve le milieu d'un segment et distingue un théorème de sa réciproque.
- Approfondissement : les pavagesPlace des copies d'un polygone régulier autour d'un point et regarde lesquels s'ajustent sans trou ni chevauchement, pourquoi le pentagone régulier laisse un trou, et pave avec deux sortes de polygones.
- Pour aller plus loin : polyèdres réguliers et sectionsFais tourner les polyèdre régulier, compte leurs faces, leurs sommets et leurs arêtes et découvre que S – A + F = 2. Coupe ensuite un cube avec un couteau et regarde quelles formes peut avoir une section.
- Angle extérieur, côtés et angles, triangles rectanglesVois qu'un angle extérieur est égal à la somme de deux angles intérieurs, que le plus grand angle est opposé au plus grand côté, et utilise les cas d'égalité des triangles rectangles.
- Cordes, lieux géométriques et les quatre étapes d'une constructionConstate que le segment qui joint le centre au milieu d'une corde est perpendiculaire à cette corde, trouve la distance du centre à une corde et compte les solutions d'une construction par lieux.
- Les coniques : couper un côneCoupe un cône avec différents plans et vois d'où viennent le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Regarde ensuite quelle courbe donne le rapport entre la distance au foyer et la distance à la directrice.
- Polygones réguliers et cercle exinscrit d'un triangleTrouve le côté et l'apothème d'un polygone régulier à partir du rayon du cercle circonscrit ou du cercle inscrit, puis le rayon du cercle exinscrit d'un triangle.
- Droites et plans de l'espaceAvec un pavé droit, découvre comment deux droites peuvent se placer dans l'espace : parallèles, sécantes ou non coplanaires. Puis étudie une droite et un plan, une droite orthogonale à un plan, et l'angle entre deux droites non coplanaires.
- Géométrie dans l'espace : axiomes et sectionsFais passer un plan par trois points, trouve la droite où deux plans se coupent, reconnais une droite parallèle à un plan et nomme la forme d'une section de cube.
- Plans parallèles, projection et perpendiculairesTeste si deux plans sont parallèles, compare des segments entre plans parallèles, trouve la longueur d'une projection parallèle et la distance d'un point à un plan.
- Symétries des polygones, angles intérieurs et angles extérieursCompte les axes de symétrie des polygones réguliers, trouve l'angle en chaque sommet et vois pourquoi les angles extérieurs ont toujours pour somme 360 degrés.
- Tangentes à un cercle et théorème de la bissectriceDémontre que les deux tangentes issues d'un point extérieur à un cercle ont la même longueur, et découvre que la bissectrice d'un angle d'un triangle coupe le côté opposé dans le rapport des deux autres côtés.
- Perpendiculaire et parallèle passant par un point, et construire à partir de donnéesÀ partir d'un point extérieur à une droite, construis la perpendiculaire et la parallèle passant par ce point, puis construis un losange et un triangle isocèle au compas, en commençant par analyser le problème.
- Construire un angle et des triangles au compas et à la règleConstruis un angle égal à un angle donné, un triangle à partir de deux côtés et de l'angle compris, à partir d'un côté et de deux angles adjacents, et un triangle rectangle à partir d'un côté de l'angle droit et de l'hypoténuse.
- Lieux géométriques dans les problèmes de construction : un point, un cercle, un triangleTrouve le point cherché à l'intersection de deux lieux géométriques. Trois tâches : un point d'une droite situé à une distance donnée d'une autre droite, un cercle tangent à une droite en un point donné, et un triangle à partir d'un côté et du rayon du cercle circonscrit.
- Raisonnement par l'absurdeApprends à démontrer une propriété par l'absurde : on suppose que la conclusion est fausse, on arrive à une contradiction, et on conclut.
- Céva, Ménélaüs, Ptolémée et la droite d'EulerQuatre résultats pour aller plus loin : quand trois droites issues des sommets d'un triangle sont concourantes, quand trois points sont alignés, le produit des diagonales d'un quadrilatère inscrit dans un cercle, et la droite d'Euler.
- Demi-droites, segments et diagonalesNommer des points avec des lettres, des demi-droites et des segments, tracer un segment d'une longueur donnée et compter les diagonales d'un polygone en résolvant d'abord un problème plus simple.
- Symétrie et pliageCompte des figures symétriques avec un axe de symétrie, trace l'image dans le miroir et devine la forme après pliage et découpage d'une feuille.
- Résoudre un problème de géométrie : hypothèses, conclusion et planDistingue les hypothèses de la conclusion, fais un plan avant de rédiger une démonstration, trouve le plus court chemin avec une perpendiculaire et le théorème de Pythagore, et découvre des applications au cercle.
- La famille des quadrilatèresClasse trapèzes, cerfs-volants, parallélogrammes, losanges, rectangles et carrés selon leurs symétries et leurs diagonales, et construis un cerf-volant.
- Relations métriques dans le triangle rectangle et propriétés d'une proportionTrace la hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle et constate que AH² = BH×HC ; calcule un côté avec cette relation, utilise la propriété d'addition d'une proportion et retrouve le théorème de Pythagore avec la même figure.
- Triangle rectangle et cercle, cercle circonscrit, tangenteDémontre que le triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle, ainsi que sa réciproque, trouve le cercle circonscrit à un triangle et construis une tangente à l'aide du cercle de diamètre [PM].
- Cercle et disqueDistingue un cercle d'un disque, trouve le centre et les rayons, puis marque les points qui sont sur le cercle.
- Construire des triangles avec une figure à main levéeFigure à main levée, programme de construction numéroté et nombre de solutions pour des constructions de triangles, y compris avec une hauteur.
- Énoncé, réciproque et démonstrationSépare un théorème en hypothèse et conclusion, écris sa réciproque et réfute-la avec un contre-exemple ; démontre et utilise le théorème de Pythagore.
- Perspective cavalière d'un solideRaccourcis les arêtes fuyantes avec le coefficient de réduction, repère les dessins faux et retrouve les vraies dimensions à partir d'une perspective cavalière.
- Plans de symétrie et sections de solidesCompte les plans de symétrie de solides, trouve les sections d'un cylindre et d'un cône par un plan contenant l'axe, et utilise les coordonnées dans l'espace pour calculer la diagonale d'un pavé droit.
- Homothétie dans un repèreCalcule les images de points et de droites par une homothétie avec la règle sur les coordonnées, trouve le rapport k et trouve le centre de gravité d'un triangle.
- Perpendiculaire et oblique, angle d'une droite et d'un plan, angle dièdreTrouve la longueur d'une oblique à partir de la perpendiculaire et de sa projection, mesure l'angle d'une droite et d'un plan ou un angle dièdre par son angle plan, puis montre que deux plans sont perpendiculaires.
- Le parallélogramme, le rectangle, le losange et le carréApprends le vocabulaire d'un quadrilatère, les propriétés et les caractérisations d'un parallélogramme, puis les diagonales d'un rectangle et d'un losange.
- Le trapèze, le segment des milieux, le quadrilatère circonscrit à un cercle et l'aire du trapèzeDécouvre les propriétés d'un trapèze isocèle, le segment qui joint les milieux des côtés non parallèles, la condition pour qu'un quadrilatère soit circonscrit à un cercle (théorème de Pitot) et l'aire d'un trapèze.
- Cas de similitude : deux côtés et un angle, trois côtésReconnais des triangles semblables avec deux côtés proportionnels et l'angle compris entre eux, ou avec trois côtés proportionnels, calcule un côté inconnu et évite le piège d'un angle qui n'est pas compris entre les côtés.
- Le segment, sa longueur et la droiteCompare des segments en les posant l'un sur l'autre, trouve la longueur de [AB] à partir de deux morceaux, mesure la distance entre deux points et cherche combien de droites passent par deux points.
- Polygones, figures superposables, aire, are et hectareNomme un polygone avec ses sommets, trouve la figure superposable en la posant sur une autre, vois la différence entre figures superposables et figures de même aire, et convertis l'aire d'un champ en hectares. Thème : cycle 3 (CM1 à 6e), polygones, aires, are et hectare ; la formule de l'aire du rectangle est dans une autre étude.
- Le cylindre et le cône : bases et patronTrouve les bases d'un cylindre et d'un cône, et calcule l'aire latérale d'un cylindre à partir de son patron.
- Point, ligne droite, ligne courbe, demi-droite, segment et ligne briséeTrouve sur l'image le point, la ligne droite et la ligne courbe. Nomme les parties que des points forment sur une droite et calcule la longueur d'une ligne brisée.
- Sécantes et tangenteD'un point P extérieur à un cercle, on trace deux sécantes, ou une sécante et une tangente. Les produits des longueurs sont égaux : PA × PB = PC × PD et PT² = PA × PB.
- Parallèles qui coupent un plan et projection parallèleCalcule des longueurs de segments portés par des droites parallèles qui coupent un plan, et des rapports de segments par projection parallèle.
- Doubler une médiane et théorème de VarignonProlonge une médiane pour obtenir un parallélogramme et démontre un encadrement de la médiane ; relie les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque et regarde quelle figure apparaît.
- Rapports d'aires de trianglesCompare des aires sans les calculer : deux triangles de même hauteur ont des aires dans le rapport de leurs bases, une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire, et un sommet qui glisse sur une parallèle garde l'aire.
- Triangles semblables en pratique : hauteur d'un arbre, distance inaccessibleUtilise les triangles semblables pour mesurer sur le terrain : la hauteur d'un arbre grâce à son ombre, une distance de l'autre côté d'une rivière, et le rapport des aires de deux figures agrandies ou réduites. Rédige les solutions en quatre temps : Données, Ce qu'on cherche, Calcul, Phrase réponse.
- Angles entre cordes, sécantes et tangenteUn angle dont le sommet n'est pas sur le cercle se mesure avec des arcs : entre deux cordes qui se coupent, la moitié de la somme des arcs ; entre deux sécantes, la moitié de la différence ; entre une tangente et une corde, la moitié de l'arc.
- Deux cercles et leurs tangentes communesLa position de deux cercles dépend de la distance d entre les centres et des rayons R et r : déplace un cercle et observe combien de points communs et de tangentes communes ils ont.
- Révision de géométrie dans l'espaceChoisis la bonne étape d'une démonstration sur des droites non coplanaires, puis résous des problèmes sur l'angle de deux droites, la projection parallèle et la perpendiculaire à un plan.
- Vérifie-toi : prismes, solides de révolution, volumesDes QCM à quatre réponses A, B, C, D sur l'aire latérale d'un prisme, d'un cylindre et d'un cône, et sur le volume d'une boule.
- Polyèdres : faces, arêtes, sommetsTrouve les bases, les faces latérales et les arêtes d'une pyramide, d'un prisme et d'un pavé droit, puis compte leurs faces et leurs arêtes.
- Aire du projeté orthogonal d'un polygoneUtilise le théorème sur l'aire d'un projeté, S′ = S × cos α, pour trouver l'aire d'un projeté ou celle du polygone lui-même.
- Où une droite coupe un plan, où deux plans se coupentConstruis le point où une droite coupe le plan de la base d'un cube et la droite d'intersection de deux plans d'un tétraèdre, avec les propriétés de la géométrie dans l'espace.
- Un point équidistant des sommets ou des côtés d'un polygoneSi M est à égale distance des sommets d'un triangle, son projeté est le centre du cercle circonscrit ; à égale distance des côtés, le centre du cercle inscrit. Trouve la distance de M au plan.
- Angle, angle droit, rectangle et carréNomme un angle avec des lettres, trouve un angle droit avec le gabarit, distingue un rectangle des autres quadrilatères et un carré des autres rectangles.
- Polygones réguliers : angle, nombre de côtés, constructionTrouve le nombre de côtés d'un polygone régulier à partir de son angle, vérifie s'il existe, et construis un hexagone avec des cordes égales au rayon puis un polygone à 2n côtés.
- Symétries et homothétie dans l'espaceTrouve le symétrique d'un point par rapport à un plan, calcule comment un volume change dans un agrandissement, et trouve tous les plans de symétrie d'un cube et d'une boule.
- Polyèdres, patrons et plus court cheminDécide quels polyèdres sont convexes, utilise la formule d'Euler, déplie un prisme et trouve le plus court chemin d'une araignée sur un pavé droit.
- Solides inscrits et circonscritsTrouve le rayon d'une boule inscrite dans un cube ou dans un cône, le rayon d'une boule qui entoure un pavé droit, et le volume d'un cylindre qui entoure un prisme.
- Dessiner sur du papier quadrilléDessine sur du papier quadrillé, comme dans un cahier : un segment d'une longueur donnée, un carré, un rectangle et une figure de périmètre donné.
- L'équerre et les figures formées de rectanglesTrace un angle droit et une perpendiculaire avec l'équerre, et calcule l'aire d'une figure formée de rectangles.
- Assemblages de cubes : plans et vuesLis un plan de construction avec des hauteurs, dessine la vue de face et la vue de dessus, et cherche combien de cubes un assemblage peut avoir au maximum.
- Papier quadrillé : tracer, parcourir, compter les carreauxTrace un rectangle sur un quadrillage, mesure la longueur d'un trajet, trouve l'aire d'une figure en comptant les carreaux et estime l'aire d'une forme ronde en comptant les carreaux entiers et les carreaux coupés.
- Équerre, règle et rapporteurTrace une perpendiculaire et une parallèle avec l'équerre, mesure et construis des angles avec le rapporteur, et trace la hauteur d'un triangle.
- Pavages et frisesCompte les figures autour d'un point dans un pavage, prolonge une frise par translation et par symétrie axiale, et trouve des axes de symétrie.
- Transformations à la suiteApplique deux transformations l'une après l'autre, trouve la courbe sur laquelle se trouvent les images d'un point mobile et observe l'effet de l'ordre.
Position et déplacement
6
- Se repérer : position, direction et toursTrouve la gauche et la droite, au-dessus, au-dessous et entre. Puis fais tourner une flèche d'un quart de tour, d'un demi-tour et de trois quarts de tour.
- coordonnées et translationPlace des points à partir de leurs coordonnées, trouve le sommet manquant d'une figure et fais glisser des figures sur un quadrillage par translation.
- Symétrie axiale, rotation et centre de symétriePlace des points dans les quatre quarts du plan, construis le symétrique d'une figure par rapport à un axe, fais tourner une figure autour d'un point, et cherche les figures qui admettent un centre de symétrie.
- Transformations et agrandissementRepère les transformations qui conservent les longueurs, les angles et le sens, agrandis ou réduis une figure à partir d'un centre (coefficient 2 puis 12), retrouve le centre d'un agrandissement et vois comment l'aire change.
- Symétrie axiale et rotationConstruis le symétrique d'une figure par rapport à une droite verticale, à une droite oblique et à l'axe des abscisses, complète une figure à partir de sa moitié, fais tourner des figures autour de différents points et trouve les coordonnées d'une image.
- Composer des transformations, symétries et astuce du symétriqueDécouvre deux symétries axiales qui se suivent, la symétrie glissée, les axes de symétrie d'un polygone et le plus court chemin trouvé avec un symétrique.
Régularités et suites
8
- Suites logiques de motifs et de nombresDes formes et des nombres qui suivent une règle. Trouve la régularité, continue-la et corrige-la.
- Machines entrée-sortie et règles de suitesUn nombre entre dans une machine et un autre en sort. Trouve ce que fait la machine, puis cherche la règle d'une suite de nombres.
- Le terme général et les suites géométriquesConstruis un tableau à partir d'une figure en allumettes, trouve son terme général et utilise-le pour compter la figure 20 sans la dessiner. Découvre ensuite des suites où l'on multiplie à chaque fois.
- Suites : terme général et relation de récurrenceUtilise la notation uₙ pour trouver des termes, construis une suite à partir d'une relation de récurrence, repère une suite périodique et compte des nombres triangulaires.
- Le signe Σ et les sommes de termesLis la notation Σ, calcule des sommes de termes de suites arithmétiques et géométriques, et vois pourquoi une somme infinie peut être un nombre.
- Sommes particulières, différences et modélisationConstruis la somme des carrés, calcule une somme par la méthode des différences, trouve le terme général d'une suite quadratique et résous un problème concret avec une suite arithmétique.
- Représentation d'une suite, sens de variation et suite bornéeReprésente une suite par des points (n ; u_n) : une suite arithmétique est sur une droite, une suite géométrique sur une courbe. Décide ensuite si une suite est toujours croissante et si elle reste sous un seuil.
- Régularités : suites de calculs, nombres palindromes et pyramides de nombresProlonge des suites de calculs, trouve la règle, fabrique des nombres palindromes et retrouve une case manquante dans une pyramide additive.
Algèbre
47
- Priorités opératoires, lettres et formulesCalcule une expression étape par étape dans le bon ordre. Puis fais remplacer un nombre par une lettre et utilise des formules.
- Expressions littérales, termes semblables et substitutionConstruis des expressions avec des tuiles, regroupe les termes semblables, retire les paires nulles, puis remplace x par une valeur.
- Résoudre des équations du premier degré avec la balanceUne équation est une balance. Teste des valeurs, puis résous des équations avec x d'un seul côté ou des deux côtés, avec des fractions et des parenthèses, en faisant la même chose sur les deux plateaux.
- Mettre en équation et résoudre un problèmeUne lettre désigne l'inconnue : traduis l'énoncé en équation, résous-la, puis vérifie la réponse dans l'énoncé.
- Développer et factoriserVois une parenthèse comme un rectangle : développe en pavant son aire avec des tuiles, puis fais le chemin inverse et trouve les côtés d'un rectangle pour factoriser.
- Produit de deux parenthèses et identités remarquablesMultiplie deux parenthèses avec un rectangle de tuiles et avec un tableau, vois pourquoi (a + b)² a deux bandes ab, et distingue une identité d'une équation.
- Inéquations, intervalles et résolutionMontre les solutions d'une inéquation sur une droite graduée : crochet fermé ou ouvert, segment ou demi-droite. Puis résous des inéquations et vois pourquoi multiplier par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
- Expressions littérales : forme réduite, soustraire, multiplierÉcris une expression littérale dans l'ordre habituel, soustrais avec des parenthèses, multiplie trois termes par deux dans une grille et élève un produit à une puissance.
- Systèmes de deux équations du premier degréTrouve le point qui vérifie deux équations à la fois : lis-le à l'intersection de deux droites, trace la seconde droite, élimine une inconnue, découvre les droites parallèles et calcule la valeur exacte quand le graphique ne donne qu'une valeur approchée.
- Factoriser les expressions du second degré et d'autres identitésRange les tuiles d'une expression du second degré en rectangle pour trouver ses deux parenthèses, repère les paires de zéros quand il y a du négatif, mets d'abord le facteur commun en évidence et découvre l'identité de la somme de deux cubes.
- Équations à deux inconnues et systèmesTrouve les couples qui vérifient une équation à deux inconnues, trace sa droite, construis un système à partir d'un problème et trouve sa solution.
- Fractions algébriquesFactorise le numérateur et le dénominateur d'une fraction algébrique et simplifie les facteurs identiques. Trouve les valeurs interdites de x, puis additionne, soustrais et divise des fractions algébriques en les mettant au même dénominateur.
- Regroupement et cubes : factoriserFactorise une expression de quatre termes par regroupement, factorise une somme et une différence de cubes, et choisis par où commencer quand plusieurs méthodes conviennent.
- Équations du second degré : factoriser, forme canonique, discriminantRésous des équations du second degré en factorisant, mets-les sous forme canonique avec des tuiles comme al-Khwârizmî, et utilise le discriminant pour savoir combien il y a de solutions.
- Polynômes et division de polynômesProlongement : le degré d'un polynôme et son écriture dans l'ordre habituel, puis la division de polynômes en remplissant une grille de multiplication à l'envers, avec un reste et avec des puissances manquantes.
- Schéma de Horner et racines entièresDivise un polynôme par x − a avec le tableau de Horner, trouve le reste et les racines entières parmi les diviseurs du terme constant.
- Tableaux de signes et inéquations avec des fractionsCherche où une expression est positive et où elle est négative : repère les valeurs qui l'annulent, remplis un tableau de signes sous la droite graduée, puis lis l'ensemble des solutions d'une inéquation comme x − 1x + 2 ⩾ 0.
- Inéquations à deux variables et régions du planTrace une droite frontière, mets-la en pointillés ou en trait plein, teste un point et colorie la région ; puis trouve la région qui convient à deux ou trois inéquations à la fois.
- Inégalités entre nombres et leurs propriétésCompare des nombres grâce au signe de la différence a − b, démontre des inégalités, additionne des inégalités membre à membre et encadre la valeur d'une expression.
- Systèmes d'inéquations à une inconnueRésous chaque inéquation d'un système, représente les solutions sur une droite graduée et trouve leur partie commune : un intervalle, un seul nombre ou l'ensemble vide.
- Systèmes d'équations à deux inconnues (dont une du second degré)Trouve les solutions d'un système avec une équation du second degré comme points communs de deux courbes, résous-le par substitution et mets un problème en système.
- Systèmes d'équations : la substitutionRemplace une inconnue par son expression dans l'autre équation, garde les parenthèses, isole d'abord une inconnue, puis vérifie la réponse sur le graphique et dans les deux équations.
- Équations avec des fractions et des racines carréesRésous des équations avec des fractions et des équations avec des racines carrées, et écarte les solutions en trop en les vérifiant.
- Somme et produit des racines, équations qui se ramènent au second degré, droite et paraboleLis la somme et le produit des racines sur les coefficients, résous une équation en x⁴ par changement d'inconnue et trouve où une droite coupe une parabole.
- Théorème du reste, factorisation et racines d'un polynômeTrouve un reste sans faire de division, repère un facteur, cherche les racines d'un polynôme de degré 3 et retrouve les coefficients à partir des racines.
- Inéquations du second degré et paramètresRésous des inéquations du second degré grâce au signe des facteurs, et vois comment une lettre dans une équation transforme « combien de solutions ? » en inéquation.
- Isoler une lettre dans une formuleIsole une lettre dans une formule : tu utilises les mêmes gestes que sur la balance, mais avec des lettres.
- Développement de (1 + x)^n pour toute puissance : valeurs approchéesUtilise les premiers termes du développement pour estimer des racines et des inverses de nombres proches de 1.
- Parabole passant par trois pointsÉcris et résous un système de trois équations linéaires d'inconnues a, b, c, puis vérifie la parabole sur son graphique.
- Équations : la règle du terme inconnuÉcris une équation à partir d'un texte, résous-la avec la règle du terme inconnu et vérifie par substitution.
- Fractions rationnelles : soustraction, dénominateurs opposés, puissances, identitésSoustrais des fractions rationnelles en changeant les signes, trouve le facteur par lequel multiplier, traite les dénominateurs opposés, élève une fraction à une puissance et démontre des identités.
- Équations équivalentes, équations avec des fractions et problèmesApprends ce que sont des équations équivalentes et une solution étrangère, résous une équation avec des fractions en vérifiant, et mets en équation des problèmes de mouvement et de travail.
- Équations du second degré incomplètes et trinômeRésous les trois sortes d'équations du second degré incomplètes, trouve les racines d'un trinôme du second degré et factorise-le avec son coefficient dominant.
- Formules, équations et solution d'une équationUtilise la formule de la distance, trouve le nombre manquant d'une opération, vérifie une solution en remplaçant, change un terme de côté avec le signe contraire et vois quand ax = b n'a pas de solution. Thème : 5e–4e, formules, solution d'une équation, ax = b ; les équations de CE2–CM1 sont dans une autre étude de la bibliothèque.
- Des systèmes d'équations pour résoudre des problèmesTraduis des problèmes de mouvement, de travail, de chiffres et de rectangles en équations : nomme les inconnues x et y, écris le système, résous-le et vérifie que la réponse convient à l'histoire.
- Expressions avec une lettreUne lettre à la place d'une case donne une expression littérale. Remplace la lettre par un nombre et calcule la valeur de l'expression.
- Inégalités avec une lettre : comment un nombre change le résultatRésous des inégalités avec une lettre de deux façons : en essayant des nombres et en passant par une équation. Écris la réponse avec des points de suspension.
- Le tableau de signes (méthode des intervalles)Place les racines sur la droite graduée, mets un signe sur chaque intervalle et lis la solution d'une inéquation comme (x + 1)x − 4x − 2 ⩽ 0.
- Équations avec un paramètreUn paramètre est un nombre qui n'est pas donné mais fixé. Regarde le graphique et sépare les cas : pour quelles valeurs de a y a-t-il des solutions, et combien ?
- Multiplier et diviser des fractions algébriquesMultiplie et divise des fractions algébriques : factorise, simplifie, remplace la division par la multiplication par l'inverse et indique les valeurs interdites de la lettre.
- Partie entière d'une fraction et équations en nombres entiersSépare la partie entière d'une fraction algébrique, trouve les derniers chiffres et les restes des puissances grâce à leur cycle, et résous des équations en nombres entiers.
- Équation du second degré avec un paramètreFais glisser a et regarde la parabole monter et descendre : le nombre de racines suit le discriminant, les signes des racines suivent les relations entre coefficients et racines.
- Inéquations avec racine carrée et systèmes équivalentsRésous des inéquations avec une racine carrée en les remplaçant par un système équivalent, en tenant compte de l'ensemble de définition et du signe du second membre.
- Systèmes et réunions d'inéquations ; systèmes d'équations exponentielles et logarithmiquesDistingue « et » (un système, la partie commune) de « ou » (une réunion), résous des systèmes mixtes et des systèmes d'équations exponentielles et logarithmiques.
- Problèmes de mélanges, d'alliages et de pourcentagesDresse un tableau « avant et après » pour une solution, un alliage et un prix, choisis x pour que la condition soit vraie et vérifie que la réponse convient à l'histoire.
- Structure d'une expression et priorités opératoiresNomme la dernière opération d'une expression, effectue les calculs dans le bon ordre et place des parenthèses pour changer le résultat.
- Cases vides et opérations réciproquesÉcris une histoire sous forme de calcul à trou avec une case vide, trouve le nombre avec l'opération réciproque, résous des devinettes à l'envers et vérifie en remplaçant.
Géométrie repérée
12
- coefficient directeur, ordonnée à l'origine et équation de droiteMesure la pente d'une droite avec un triangle, règle a et b avec des curseurs, trace une droite à partir d'un tableau de valeurs et trouve l'équation d'une droite passant par deux points.
- Formes d'une droite, droites parallèle et perpendiculaire, distance et milieuPasse de la forme ax + by = c à l'équation réduite y = mx + p, trace des droites parallèles et perpendiculaires, calcule la distance de deux points avec le théorème de Pythagore et le milieu comme une moyenne.
- Partager un segment dans un rapport, et distance d'un point à une droiteTrouve le point qui partage un segment dans un rapport donné, et la distance d'un point à une droite avec la formule.
- Aire d'un triangle à partir des coordonnées, et problèmes de géométrieCalcule l'aire d'un triangle à partir des coordonnées de ses trois sommets, et utilise les coordonnées pour résoudre des problèmes de géométrie.
- Le cercle : équation, droite et cercle, tangenteConstruis et lis l'équation d'un cercle, trouve les points communs d'une droite et d'un cercle, et travaille avec la tangente et sa longueur.
- Coniques et paraboleReconnais la parabole comme l'ensemble des points à égale distance d'un foyer et d'une directrice, et lis son équation avec le sommet à l'origine, puis en un point quelconque.
- L'ellipse, l'hyperbole et une droite qui les rencontreTrouve les foyers d'une ellipse et d'une hyperbole à partir de l'équation, construis une ellipse de centre quelconque, trace l'asymptote d'une hyperbole et étudie une droite par rapport à une parabole.
- Équations paramétriques et coordonnées polairesTrace une courbe point par point à partir d'équations paramétriques, élimine le paramètre, modélise un mouvement et passe des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes.
- Le coefficient directeur d'une droite et les vecteurs colinéairesTrouve le coefficient directeur m à partir de l'angle que fait la droite avec l'axe des abscisses (m = tan α, y compris pour un angle obtus), les droites perpendiculaires et un vecteur colinéaire à un vecteur donné.
- Une droite et les axes : triangle, périmètre et aireTrouve où la droite ax + by = c coupe les axes, le périmètre et l'aire du triangle qu'elle forme avec eux, puis le point d'intersection de deux droites.
- Aire avec le déterminantCalcule l'aire de parallélogrammes et de triangles à partir de vecteurs et de coordonnées avec le déterminant de deux vecteurs.
- Coordonnées d'un point dans l'espaceDis où se trouve un point, puis trouve la distance de deux points, le milieu d'un segment et le point symétrique à partir des coordonnées.
Fonctions et courbes
32
- relations, couples et fonctionsReprésenter une relation par un diagramme à flèches, placer ses couples dans un repère, reconnaître les relations qui sont des fonctions et essayer le test de la droite verticale sur un graphique.
- Graphiques de la vie courante, vitesse et croissanceLis un graphique distance-temps pour repérer les arrêts et les vitesses, trace le graphique d'une promenade, associe une bouteille qui se remplit à son graphique et compare le doublement à une croissance régulière.
- Courbes des fonctions polynômes du second degréComplète un tableau de valeurs pour y = x² – 2x – 3 avec des x négatifs et trace la courbe, comprends pourquoi le bas d'une parabole est arrondi, lis les solutions, l'ordonnée à l'origine et le sommet sur la courbe, et vois le rôle de a dans y = ax².
- Notation f(x), ensemble de définition et ensemble des imagesCalcule des valeurs de f(x) avec une règle, trouve le nombre de départ qui donne un résultat, écris l'ensemble de définition d'une fraction et d'une racine carrée, et lis l'ensemble des images sur une courbe.
- Valeur absolue et partie entièreDécouvre la valeur absolue dans un tableau et sur une courbe, résous une équation avec valeur absolue comme deux points d'intersection avec une droite, lis les marches de la fonction partie entière et trace le prix d'une course de taxi qui augmente par paliers.
- Fonctions croissantes, décroissantes, paires et impairesTrouve les intervalles où une courbe monte ou descend, place les symétriques de points par rapport à l'axe des ordonnées et par rapport à l'origine, et utilise f(−x) pour savoir si une fonction est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.
- Somme, composée et réciproque de fonctionsAdditionne deux fonctions, respecte l'ordre dans une fonction composée, trouve la réciproque d'un programme de calcul en défaisant ses étapes, construis la courbe de la réciproque par symétrie par rapport à y = x, et utilise une droite horizontale pour voir quelles fonctions ont une réciproque.
- Translater, retourner et étirer une courbeDéplace la courbe de y = (x − h)² + k avec des curseurs, lis le sommet d'une parabole, vois où f(2x) envoie un point et combine plusieurs transformations sur une parabole.
- Courbes de fonctions cubiques, tracé de polynômes et asymptotesRemplis et place un tableau de valeurs d'une fonction cubique, construis la courbe d'un polynôme à partir de ses racines et de son ordonnée à l'origine, et trace sous forme de droites les asymptotes verticale et horizontale d'une fonction rationnelle.
- La fonction affine : formule, tableau, courbeDéfinis une fonction par une formule, un tableau de valeurs et une courbe, trace une droite à partir de a et de b, trouve l'antécédent de 0 et les valeurs de x pour lesquelles la fonction est positive.
- Fonction du second degré et propriétés des fonctionsTrouve le sommet d'une parabole avec la formule, lis les propriétés d'une fonction sur sa courbe, résous graphiquement une inéquation du second degré et trace les courbes de y = |f(x)| et de y = f(|x|).
- Le nombre e, croissance et décroissanceVois pourquoi (1 + 1n)n se stabilise vers e, place la courbe de y = a×ex sur une courbe donnée et construis des modèles de croissance et de décroissance.
- Fonctions exponentielles de base quelconque et équations exponentiellesRemplis un tableau de valeurs de 2^x, vois qu'une base supérieure à 1 donne une courbe qui monte et une base comprise entre 0 et 1 une courbe qui descend, puis résous une équation exponentielle en écrivant les deux membres avec la même base.
- LogarithmesComprends qu'un logarithme est la puissance à laquelle on élève la base, et construis la courbe du logarithme comme symétrique de la courbe de l'exponentielle.
- Propriétés des logarithmes et équationsDécouvre les propriétés du produit et de la puissance, résous une équation avec un logarithme et redresse des données à l'aide des logarithmes.
- Fonctions définies par morceaux, signe et valeur absolueLis la valeur d'une fonction définie par morceaux, place les points de la fonction signe, construis la courbe de y = |x − 1| + 2 en déplaçant le V, puis lis des inéquations avec valeur absolue sur une courbe.
- Maximum et minimum d'une fonction, fonctions puissancesTrouve le maximum et le minimum d'une fonction sur un intervalle, compare les courbes de y = xn pour n pair et n impair, et découvre la courbe de y = x−n.
- Hyperboles translatéesDéplace l'hyperbole avec b et c, lis les asymptotes, l'ensemble de définition et l'ensemble des valeurs, et calcule l'ordonnée à l'origine.
- Familles de droites et de parabolesFais varier le paramètre d'une famille, trouve la courbe qui porte tous les sommets et résous le problème de la tangente avec le discriminant.
- Équations et inéquations exponentielles : les méthodesMets une puissance en facteur, pose t = 2ˣ, lis une solution sur un graphique et décide quand une inéquation garde son sens.
- Les fonctions inverse et racine carrée et leurs courbesTrace une hyperbole à partir d'un tableau de valeurs, trouve dans quels quadrants se placent ses branches, détermine k à partir d'un point et trace la courbe de la fonction racine carrée.
- Identité fondamentale du logarithme, changement de base, fonction logarithmeUtilise l'identité fondamentale du logarithme, change de base et compare des logarithmes dont la base est comprise entre 0 et 1.
- Équations et inéquations avec des logarithmesRésous des équations avec une somme de logarithmes, vérifie les solutions avec l'ensemble de définition, pose t = log x, cherche une base inconnue et résous des inéquations dont la base est comprise entre 0 et 1.
- La fonction carré et sa courbeDresse un tableau de valeurs pour la fonction f(x) = x², place les points, découvre les propriétés de la courbe et résous x² = 4 et x² = x + 2 avec la courbe.
- Lire les propriétés d'une fonction sur sa courbeÀ partir de la courbe d'une fonction définie sur [−4 ; 7], trouve ses zéros, les intervalles où elle garde le même signe, un intervalle où elle est croissante et son maximum.
- Courbes de y = ⁿ√x et puissances à exposant rationnelCompare les courbes de ³√x, ⁴√x et √x, trouve l'ensemble de définition d'une racine n-ième et d'une puissance à exposant rationnel, et compare des nombres grâce au sens de variation.
- Croissance et décroissance : B(t) = B₀ × qᵗDistingue les tableaux affines, quadratiques et exponentiels, trouve un temps de doublement et une demi-vie avec le logarithme, et vois où un modèle exponentiel cesse d'être réaliste.
- Fonctions polynômes : comportement aux bornes, zéros et expressionsLis le comportement aux bornes avec le degré et le coefficient dominant, distingue zéros simples et zéros doubles, résous une équation bicarrée et trouve une expression à partir d'une courbe.
- Problèmes de maximum sans dérivéeÉcris la fonction à rendre maximale pour un enclos rectangulaire, un rectangle dans un triangle et une boîte, puis lis la valeur maximale au sommet de la parabole ou dans un tableau. Précise l'ensemble de définition de la variable.
- Familles de fonctions et paramètresDéplace des courbes de fonctions puissance et exponentielles avec des curseurs, lis l'ensemble de définition, l'ensemble des valeurs et l'asymptote, trouve la fonction réciproque comme symétrique et associe une courbe à son expression.
- Fonctions rationnellesDistingue une asymptote verticale d'un trou dans la courbe, lis des limites, trouve les asymptotes et construis une expression à partir de propriétés.
- Trouver une fonction à partir de propriétésTraduis des propriétés en équations sur f, f′ et f″, trouve un paramètre et la courbe sur laquelle se trouvent les extremums d'une famille de fonctions.
Vecteurs
16
- Segments orientés, vecteurs et vecteurs de translationTrace des vecteurs de l'origine à l'extrémité et lis leurs coordonnées, trouve des vecteurs égaux et opposés, et translate une figure avec un vecteur.
- Somme de vecteurs, multiplication par un réel et vecteur unitairesAdditionne des vecteurs bout à bout et avec un parallélogramme, soustrais un vecteur d'un autre, étire et retourne un vecteur avec un nombre, et écris tout vecteur avec i et j.
- Pour aller plus loin : les vecteurs en mouvementAdditionne les déplacements d'un robot en un seul, renvoie-le à son départ avec le vecteur opposé, et vois comment le courant d'une rivière change la trajectoire d'une nageuse.
- Vecteurs de l'espace : norme, distance et milieuUn vecteur de l'espace est la diagonale d'un pavé droit. Trouve la norme d'un vecteur, la distance entre deux points et le milieu d'un segment à partir de leurs coordonnées.
- Le produit scalaire de deux vecteursLe produit scalaire de deux vecteurs est un nombre qui renseigne sur l'angle entre eux. Calcule-le dans l'espace avec les coordonnées et utilise-le pour l'orthogonalité et pour un angle.
- Aire et volume avec le produit vectorielLa norme du produit vectoriel de deux vecteurs est l'aire du parallélogramme qu'ils forment. Avec trois vecteurs, on obtient le volume d'un parallélépipède grâce à un déterminant.
- Équations d'une droite et d'un plan dans l'espaceUne droite de l'espace est déterminée par un point et un vecteur directeur, un plan par un point et un vecteur normal. Écris leurs équations et vérifie si des points leur appartiennent.
- Angles, intersections et distances dans l'espaceTrouve l'angle entre une droite et un plan, le point où une droite coupe un plan, la distance d'un point à un plan et l'angle entre deux plans, avec les produits scalaires et les équations.
- Les vecteurs pour démontrer et résoudre des problèmesTrouve le point d'équilibre de points pondérés, fais une démonstration géométrique avec des vecteurs (le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle) et résous des problèmes de vitesse et de parallélogramme en traçant des vecteurs.
- Vecteurs du plan : coordonnées, norme, produit scalaireTrouve les coordonnées et la norme d'un vecteur, le produit scalaire avec les coordonnées ou avec l'angle, la condition d'orthogonalité et l'angle entre deux vecteurs.
- Le produit scalaire : normes, angle, coordonnéesCalcule un produit scalaire avec les normes et l'angle, élève une somme de vecteurs au carré, trouve le cosinus de l'angle entre deux vecteurs et l'angle d'un triangle à partir de ses sommets.
- Vecteurs de l'espace : somme, produit par un réel, colinéarité et coplanaritéAdditionne des vecteurs avec la règle du parallélépipède et avec les coordonnées, multiplie un vecteur par un nombre et cherche quand trois vecteurs sont dans un même plan.
- Vecteurs sur un prisme et un cube : égaux, sommes, colinéairesDistingue les vecteurs égaux, de même sens et opposés sur un prisme, additionne des vecteurs avec la relation de Chasles, exprime un vecteur à l'aide d'autres vecteurs et trouve des vecteurs colinéaires grâce aux coordonnées.
- Écrire un vecteur avec deux vecteursTout vecteur du plan peut se construire à partir de deux vecteurs non colinéaires : p = xa + yb. Trace les deux parties sur le quadrillage, trouve les coefficients, écris AM dans un parallélogramme et calcule la longueur d'une projection.
- Positions relatives de droites et de plans dans l'espaceTest d'appartenance d'un point à une droite, vecteur normal par le produit vectoriel, position de deux droites et intersection d'une droite et d'un plan.
- Distances dans l'espaceDistance d'un point à un plan avec la formule du vecteur normal, projeté orthogonal, plans parallèles et droites non coplanaires.
Trigonométrie
20
- Trigonométrie dans le triangle rectangleAgrandis et rétrécis un triangle rectangle ayant un angle de 35° et vois que les côtés changent mais pas leur rapport. Nomme ensuite le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse pour chaque angle, puis trouve un côté et un angle à l'aide d'un tableau de valeurs, sans calculatrice.
- Valeurs exactes pour 30°, 45° et 60°Coupe en deux un triangle équilatéral et un carré pour trouver les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente de 30°, 45° et 60°, relie tan au coefficient directeur d'une droite et résous une équation comme sin x = 12.
- Angles quelconques, cercle trigonométrique et radiansFais tourner un point sur le cercle trigonométrique d'angles supérieurs à 90°, négatifs compris, lis le cosinus et le sinus d'après sa position, mesure l'angle en radians et trouve des valeurs exactes comme sin7π6.
- Angles associés, arcs et secteursPrends le symétrique d'un point du cercle trigonométrique pour voir le lien entre le sinus et le cosinus de θ et de 180° − θ, utilise l'angle de référence pour trouver cos 120°, puis calcule la longueur d'un arc et l'aire d'un secteur avec l'angle en radians.
- Courbes du sinus et du cosinus, période et amplitudeLis les courbes du sinus et du cosinus : où le cosinus s'annule, comment la période et la valeur maximale changent pour y = sin 2x et y = 2sinx + 1.
- Identités trigonométriques et démonstrationUtilise sin2θ + cos2θ = 1 et tanθ = sinθcosθ pour trouver une valeur à partir d'une autre, repère la ligne fausse d'une « démonstration » et apprends ce qu'est la preuve d'une identité.
- Angles somme, double et triple ; sommes et produitsUtilise les formules d'addition avec des valeurs exactes pour trouver sin 75°, puis travaille avec les angles doubles et triples, transforme une somme de sinus en produit et écris √3sinx + cos x sous la forme d'un seul sinus.
- Équations trigonométriques : second degré et systèmesRésous des équations trigonométriques en trouvant tous les angles de 0° à 360° : tan x = −1, équations du second degré en sin x ou cos x (une demande d'abord une identité) et un système de deux équations en x et y.
- Loi des sinus, théorème d'Al-Kashi, formule des tangentes et espaceRésous des triangles tracés à l'échelle avec la loi des sinus, le théorème d'Al-Kashi et la formule des tangentes, puis utilise des triangles rectangles pour trouver un angle dans un pavé droit.
- Aire d'un triangle : sinus, formule de Héron et cerclesTrouve l'aire d'un triangle à partir de deux côtés et de l'angle compris, ou à partir de trois côtés avec la formule de Héron, puis utilise l'aire pour trouver les rayons du cercle inscrit et du cercle circonscrit.
- La tangente : courbe, ensemble de définition et périodeLis la courbe de y = tan x : son signe dans chaque quadrant, les angles où elle n'est pas définie, sa période et les solutions de tan x = 1.
- Parité et angles associésDécouvre que le sinus et la tangente sont impairs et que le cosinus est pair, puis utilise la règle des angles associés : quand la fonction change de nom et quel signe elle prend.
- Propriétés des fonctions trigonométriquesLis les propriétés du sinus, du cosinus et de la cotangente sur leurs courbes : période, parité, zéros, intervalles de décroissance, ensemble de définition et ensemble des valeurs.
- Solutions générales des équations trigonométriquesLa droite y = b coupe la courbe du sinus, du cosinus ou de la tangente en une infinité de points. Écris toutes les solutions avec une formule où k ∈ ℤ, et, dans une équation qui se ramène à une équation du second degré, rejette la racine impossible.
- Sinus, cosinus et tangente d'un angle de 0° à 180°Définis le sinus et le cosinus par les coordonnées d'un point du demi-cercle trigonométrique, trouve leurs valeurs pour des angles obtus et utilise sin²α + cos²α = 1.
- Résoudre un triangleRésous un triangle dans trois cas : un côté et deux angles, deux côtés et l'angle compris, trois côtés ; puis vois comment deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux peuvent donner deux triangles.
- Conséquences du théorème d'Al-KashiLa nature d'un triangle à partir de son plus grand côté (acutangle, rectangle ou obtusangle), la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme et un problème sur les côtés AB et BC.
- Cosinus, sinus, tangente et résolution de triangles rectanglesApprends sinus, cosinus, tangente (et l'inverse de la tangente), la relation cos2α + sin2α = 1, résous des triangles rectangles à partir de l'hypoténuse et d'un angle ou de deux côtés, et traite des problèmes concrets.
- Inéquations trigonométriques et choix des solutionsUtilise le graphique pour voir où un sinus ou un cosinus est au-dessus ou au-dessous d'un nombre, et choisis les solutions d'une équation dans un intervalle donné.
- f(x) = a · sin(b · (x + c)) + dChange l'amplitude, la valeur moyenne, la période et le décalage de la sinusoïde, lis correctement le décalage dans la parenthèse et utilise le modèle pour une marée.
Statistiques
32
- Recueillir des données, compter avec des bâtons, lire un pictogrammeInterroge la classe, compte avec des bâtons et construis un pictogramme.
- Diagrammes en barres et courbesConstruis des diagrammes en barres et des courbes à partir d'un tableau, lis-les et choisis le bon diagramme pour une question.
- Bâtons groupés par cinq, calculs avec des bâtons et pictogrammes de dixTrie et compte avec des bâtons, additionne et retire avec des bâtons, puis dessine un pictogramme où une image vaut 10.
- Diagrammes circulaires et moyenneColorie et lis des diagrammes circulaires, mets des barres au même niveau pour trouver la moyenne, et distingue les données numériques des données en mots.
- Mode, médiane, moyenne et étendueRange des cartes de données pour trouver la médiane, lis la valeur la plus fréquente et l'étendue sur un diagramme en points, regarde la moyenne bouger quand une valeur change, puis choisis le meilleur indicateur.
- Valeurs aberrantes et comparaison de deux sériesCompare les sauts en longueur sans élan de deux classes avec une moyenne et l'étendue, éloigne une valeur et regarde réagir la moyenne, la médiane et l'étendue, puis décide si une valeur aberrante est une erreur ou une valeur réelle.
- Données regroupées en classes, histogrammes et polygone des effectifssRange des tailles dans des classes de même amplitude, construis un tableau d'effectifs et de fréquences, dessine un histogramme dont les barres se touchent et relie les centres des classes pour tracer un polygone des effectifs.
- Moyenne d'une série regroupée en classes et effectifs cumulésEstime la moyenne d'une série regroupée en classes avec une colonne centre × effectif, combine correctement les moyennes de deux classes, construis une colonne et une courbe des effectifs cumulés croissants, puis lis la médiane sur la courbe.
- Séries statistiques à deux variables et nuages de pointsPlace des couples de données, nomme le type de données, décris la corrélation, trace à la main une droite d'ajustement, fais des prévisions avec elle et distingue corrélation et causalité.
- population, échantillon et recueil de donnéesPrélève des échantillons de 10 et de 50 élèves dans un collège de 600 élèves et compare-les avec le collège entier. Repère un échantillon biaisé et choisis la bonne façon de recueillir des données pour chaque question.
- Pour aller plus loin : l'écart moyenVois la distance de chaque point à la moyenne, fais la moyenne de ces distances, découvre pourquoi les écarts avec leur signe ont toujours une somme nulle, et compare deux séries par leur dispersion.
- Quartiles et diagramme en boîtePartage une série ordonnée en quatre parties, trouve Q₁ et Q₃, place les cinq nombres du diagramme en boîte et mesure la moitié centrale des valeurs avec l'écart interquartile.
- Variance, écart type et coefficient de variationMesure la dispersion avec les carrés des écarts à la moyenne : la variance, l'écart type, et le coefficient de variation pour comparer des dispersions exprimées dans des unités différentes.
- La forme des données et la courbe normaleLis la forme d'un histogramme (symétrique ou asymétrique), vois comment l'asymétrie éloigne la moyenne de la médiane, et utilise la règle 68–95–99,7 pour des données en forme de cloche.
- Corrélation et droite de régressionLis la force d'une corrélation avec r, trouve le point moyen, règle la droite de régression avec son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine, et fais une prévision à l'intérieur des données.
- Diagrammes tiges-feuilles et séries chronologiquesÉcris des données dans un diagramme tiges-feuilles et lis-le, puis trace une série chronologique sous forme de courbe et lisse-la avec une moyenne mobile.
- Classes d'amplitudes inégales et données à deux variablesTrace un histogramme à classes d'amplitudes différentes avec la densité d'effectif, retrouve l'effectif à partir d'un rectangle et lis deux variables d'un même groupe sur un seul graphique.
- Seuil de pauvreté, indice des prix et inflationTrouve un seuil de pauvreté à partir du revenu médian, calcule un indice des prix et vois ce que fait l'inflation.
- Tendance, interpolation et extrapolationLis le motif et la tendance d'une série chronologique, estime une valeur entre deux valeurs relevées (interpolation) et au-delà d'elles (extrapolation).
- Recueillir des données, choisir une échelle, lire une courbeCompte les réponses d'une enquête avec un tableau de comptage, choisis une bonne graduation pour un axe et lis une courbe de température sur 12 mois.
- Les pourcentages en statistiques et en probabilitésÉcris le résultat d'une enquête sous forme de pourcentage, trouve un pourcentage à partir de l'angle d'un secteur, colorie un diagramme circulaire en pourcentages et écris une probabilité en pourcentage.
- Types de caractères, recueil de données et estimationDistingue les caractères qualitatifs et quantitatifs, discrets et continus, prélève un échantillon stratifié, trouve la question de questionnaire honnête et estimer une moyenne de population à partir d'un échantillon.
- Tableaux de données : lire et remplirLis un tableau simple, trouve la plus grande valeur, calcule l'écart et remplis un tableau à partir des données.
- Trier selon un critèreTrie des objets en groupes selon la couleur et selon la forme, compte chaque groupe et trouve le plus grand.
- Horaires : cours et trainsLis des emplois du temps et des horaires de train : à quelle heure finit un cours, combien dure une récréation ou un trajet, quel train prendre.
- Test d'une hypothèse, covariance et moindres carrésDécide à partir de combien de piles l'hypothèse d'une pièce équilibrée devient peu plausible, calcule la covariance et le coefficient de corrélation de cinq points, et trouve la droite pour laquelle la somme des carrés des écarts est la plus petite.
- Caractéristique commune et triTrouve la caractéristique commune d'un ensemble, trie des formes en groupes selon deux critères à la fois et repère l'intrus.
- Lire des données avec esprit critiqueCompare des groupes, repère l'effet Simpson, juge un échantillon, distingue pourcentage et points de pourcentage, et corrélation et cause.
- Effectif et fréquenceFais le décompte d'une enquête, calcule des fréquences sous forme de fractions, de nombres décimaux et de pourcentages, et compare des groupes de tailles différentes.
- Les graphiques trompeursRepère les graphiques qui donnent une fausse impression, comme un axe tronqué ou des dessins de tailles différentes, trace-les honnêtement et choisis des titres que les données permettent de soutenir.
- Graphiques et échantillons trompeursVois comment un axe tronqué change un graphique, choisis un diagramme adapté à une affirmation, juge si un échantillon d'enquête est représentatif, et constate que la même moyenne peut cacher des dispersions très différentes.
- La loi normale et les règles en σRègle μ et σ de la courbe de Gauss et utilise les règles en σ : 68,3 %, 95,4 % et 99,7 %.
Probabilités
18
- Le hasard : certain, possible, impossibleTire des jetons dans un sac, fais tourner une roue et lance un dé. Dis si chaque événement est certain, possible ou impossible.
- fréquence observée et probabilité théoriqueFais tourner une roue, lance une capsule de bouteille et des dés : 10 fois, 100 fois, 1 000 fois. Observe la fréquence se stabiliser près de la probabilité.
- Univers, événements composés et événement contraireÉcris toutes les issues d'une pièce et d'une roue, de deux pièces et de deux dés. Trouve les cases favorables dans un tableau 6 × 6 et déduis la probabilité qu'un événement ne se produise pas de la probabilité qu'il se produise.
- Diagrammes de Venn, événements et tableaux croisésRange une classe de 30 élèves selon le football et les échecs dans un diagramme de Venn, passe des mêmes données à un tableau à double entrée et inversement, vois les événements comme des ensembles et calcule des probabilités de « A ou B » avec la formule P(A ∪ B).
- Arbres de probabilités, principe multiplicatif et événements indépendantsFais pousser des arbres pour dénombrer des tenues et des classements, écris les probabilités sur les branches, multiplie le long d'un chemin, additionne les chemins, et vois ce qui change quand on ne remet pas la bille.
- Les règles des probabilités, les issues continues et le nombre attenduAdditionne les probabilités d'événements incompatibles, trouve quelles listes peuvent être des probabilités, calcule une probabilité comme une part de longueur et prévois combien de fois quelque chose se produit.
- Probabilités conditionnellesUtilise un tableau, un diagramme de Venn et un arbre pour calculer la probabilité d'un événement quand on connaît déjà un autre événement, vois pourquoi l'ordre du « sachant que » compte, et découvre les événements dépendants.
- Événements indépendants et probabilités totalesTeste avec un tableau si deux événements sont indépendants, comprends pourquoi des événements incompatibles ne sont pas indépendants, et additionne les chemins d'un arbre pour trouver la probabilité d'une issue qui peut arriver de plusieurs façons.
- Variables aléatoires et espéranceAssocie un nombre à chaque issue de deux dés, trouve la probabilité des valeurs de ce nombre, calcule la moyenne d'un dé et décide ce que vaut un jeu à chaque lancer.
- Issues non équiprobables et inversion d'un arbre pondéréDonne à chaque issue son poids et additionne-les. Lis ensuite un arbre à l'envers : on trouve une vis défectueuse, quelle machine l'a fabriquée ?
- Loi binomiale et loi de PoissonCompte les chemins d'un arbre qui donnent exactement k succès, vois d'où vient la formule de la loi binomiale et utilise la formule de Poisson pour des événements qui arrivent au hasard.
- Loi normale et valeur centrée réduiteMarque sur une droite graduée la distance à la moyenne en nombre d'écarts types, applique la règle 68 – 95 – 99,7, calcule la valeur centrée réduite et trouve la probabilité d'une queue de la courbe.
- Moyennes d'échantillons, proportions et théorème central limiteConstate que les moyennes d'échantillons sont bien moins dispersées que les valeurs isolées, calcule l'écart type d'une moyenne et d'une fréquence, et utilise le théorème central limite pour trouver une probabilité.
- Variance d'une variable aléatoire, loi géométrique et inégalité de Bienaymé-TchebychevCalcule une variance à partir d'un tableau de loi, trouve la variance d'une somme de variables indépendantes, calcule la probabilité de « jusqu'au premier succès » et majore un écart avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Probabilité géométrique, densité et variables aléatoires continuesTrouve la probabilité qu'un point choisi au hasard tombe dans une partie d'une figure, d'un segment ou d'un arc comme un rapport de mesures, comprends ce qu'est une densité et rencontre les lois uniforme et exponentielle.
- Probabilités et combinaisonsCalcule la probabilité d'un événement en situation d'équiprobabilité, avec P(A) = nombre de cas favorables ÷ nombre de cas possibles, quand on dénombre avec des combinaisons « k parmi n » et des arrangements.
- Estimer π avec des points au hasard et des bandesCompte des points tirés au hasard dans un quart de disque pour estimer π, observe comment la dispersion diminue quand le nombre de points augmente, puis compare avec la méthode des bandes.
- Test de décision unilatéralÉcris H₀, trouve la zone de rejet au seuil de 5 %, apprécie le risque de première espèce et lis correctement le résultat d'un test.
Ensembles et logique
23
- Ensembles : éléments, parties, réunion, intersection et complémentaireRange des cartes de nombres dans les ovales d'un diagramme de Venn, écris des ensembles entre accolades, hachure des réunions, des intersections et des différences, et compte avec le diagramme.
- Arrangements et groupes : permutations et combinaisonsFais pousser l'arbre des arrangements pour compter qui peut gagner l'or et l'argent, range des amis en file, puis comprends pourquoi un groupe est compté moins de fois qu'un arrangement.
- La formule du binôme et le triangle de PascalVois (a + b)³ comme trois parenthèses et compte les chemins qui donnent chaque terme, lis les coefficients dans le triangle de Pascal et sers-t'en pour des développements avec des nombres.
- Compter sans compter deux fois, et principe des tiroirsCompte les élèves de deux clubs sans compter deux fois ceux qui sont dans les deux, compte les multiples de 2 ou de 3, puis utilise le principe des tiroirs pour être sûr que deux objets se retrouvent dans la même boîte.
- Phrases ouvertes, sous-ensembles et lois des ensemblesDistingue les propositions des phrases ouvertes, construis l'ensemble des solutions d'une phrase ouverte, compte les sous-ensembles et vérifie les lois de distributivité et d'absorption sur un diagramme de Venn.
- Propositions, « et », « ou », « non » et « si … alors … »Reconnais les phrases qui sont des propositions, emploie correctement « et », « ou » et « non », teste la promesse « si … alors … » et trouve la contraposée.
- Quantificateurs, raisonnements valides et lois de De MorganNie « tous », dessine « tout multiple de 6 est un multiple de 3 », distingue les raisonnements valides des autres et utilise les lois de De Morgan sur les ensembles.
- Démontrer : directement, par cas, par l'absurde et par récurrenceDémontre avec des lettres que la somme de deux impairs est paire, vérifie une propriété en la découpant en cas, démontre par l'absurde qu'il n'y a pas de plus grand nombre pair et fais l'étape d'hérédité pour les nombres impairs.
- Couples, relations et relations d'équivalencePlace A × B sous forme de points, repère une relation, renverse-la pour obtenir la relation réciproque et comprends pourquoi « même reste » est une relation d'équivalence.
- Dénombrer avec des répétitions : anagrammes, groupes, étoiles et barresRange en ligne des billes de même couleur, compte des codes avec des chiffres répétés, répartis des élèves dans des chambres et compte des bouquets avec la méthode des étoiles et des barres.
- Ensembles définis par une condition, et ensembles infinis mis en correspondanceReconnais ℕ, ℤ, ℚ et ℝ, écris les éléments d'un ensemble à partir de sa condition, écris la condition d'un ensemble et comprends pourquoi les nombres pairs et les entiers naturels sont « aussi nombreux ».
- Coefficients binomiaux, triangle de Pascal et preuve par dénombrementSépare des groupes d'amis en deux sortes, démontre la formule de Pascal en comptant, et vois pourquoi chaque ligne a pour somme une puissance de 2.
- Graphes : sommets, arêtes et degréLis un graphe : trouve le degré de chaque sommet, compare la somme des degrés au nombre d'arêtes et comprends pourquoi certains graphes n'existent pas.
- Graphes : ensembles dominantsPlace des stations pour que chaque point de la carte soit couvert, et trouve le plus petit nombre possible de stations : le nombre de domination du graphe.
- Règles de la somme et du produit, n!, arrangements et combinaisonsDistingue la règle de la somme de la règle du produit, utilise les formules des permutations, des arrangements et des combinaisons, et résous une équation avec des factorielles.
- Problèmes de dénombrement : listes, arbre et principe multiplicatifTrouve toutes les façons de placer trois filles sur des étages, fais pousser un arbre de choix et découvre pourquoi on trouve le nombre de possibilités par une multiplication.
- La règle de la somme et la règle du produitDe combien de façons peut-on choisir « a ou b » et « a et b » : règle de la somme, règle du produit, couples (a ; b), plan de routes et problèmes sur les chiffres.
- Vrai ou fauxLis des phrases sur les fruits avec les mots « tous », « chaque » et « certains », et décide si elles sont vraies.
- Si … alors …Barre des nombres grâce à des indices, tire des conclusions de règles « si … alors … » et construis des chaînes de raisonnement.
- Graphes orientés et problèmes résolus avec des graphesLis des graphes orientés, compte des poignées de main et des matchs d'un championnat, et trouve le plus court trajet en transformant le problème en graphe.
- Connexité, chaînes, cycles et tracé d'un grapheCompte les composantes connexes, trouve les sommets de degré impair et décide si un graphe peut être tracé sans lever le crayon.
- Conditions nécessaires et conditions suffisantesDistingue une condition nécessaire, une condition suffisante et une condition nécessaire et suffisante, et réfute une affirmation fausse par un contre-exemple.
- Arbres et graphes planairesReconnais un arbre, compte les arêtes d'un arbre et d'un arbre couvrant, et compte les faces d'un graphe planaire avec la formule d'Euler.
Nombres complexes
4
- Nombres complexes : i, addition, multiplication, divisionDécouvre le nombre i tel que i² = −1, additionne des nombres complexes comme des points du plan, multiplie-les comme des parenthèses et divise avec le conjugué.
- Équations du second degré et polynômes à racines complexesComprends pourquoi x² + 4x + 13 = 0 n'a pas de solution réelle, résous des équations dont les solutions sont complexes, place-les dans le plan complexe et trouve la racine manquante d'un polynôme de degré 3.
- Le plan complexe : module, argument et rotationLis les nombres complexes comme des points du plan complexe, trouve leur module et leur argument, construis leur conjugué et multiplie en tournant et en agrandissant.
- Puissances, racines et cercles dans le plan complexeUtilise e^{iθ} comme un point du cercle unité, élève des nombres à une puissance avec la formule de Moivre, trouve les quatre racines d'un nombre et trace un cercle avec |z − c| = r.
Matrices
6
- Matrices : taille, coefficients et matrices particulièresLis une matrice comme un tableau : trouve un coefficient avec sa ligne et sa colonne, donne sa taille et construis les matrices nulle, identité et diagonale.
- Additionner, multiplier par un réel, multiplier et transposer des matricesAdditionne et soustrais des matrices de même taille, multiplie par un réel, multiplie ligne par colonne et transforme les lignes en colonnes.
- DéterminantsCalcule des déterminants 2 × 2 et 3 × 3, vois ce que fait l'échange de deux lignes, et vois comment le déterminant multiplie les aires.
- Matrices inverses et résolution de systèmesTrouve l'inverse d'une matrice 2 × 2 grâce à son déterminant, l'inverse d'une matrice 3 × 3 par des opérations sur les lignes, puis résous un système avec cet inverse.
- Règle de Cramer et méthode du pivot de GaussRésous un système avec des déterminants (Cramer), puis par opérations sur les lignes (pivot de Gauss), et vois comment un déterminant nul donne des droites parallèles.
- Les matrices comme transformationsUne matrice déplace les points du plan : applique-la à un point, construis-la à partir des images de i et de j et trouve les points qu'elle laisse en place.
Analyse
21
- Limites : s'approcher d'un nombreRemplis un tableau de valeurs proches d'un point où la fonction n'est pas définie, lis la limite sur la courbe et vois pourquoi les limites à gauche et à droite doivent être égales.
- Calculer des limites : opérations, forme 0/0 et sinusCalcule des limites de sommes et de produits à partir de graphiques, lève la forme 0/0 en factorisant et en simplifiant, et découvre la limite du sinus.
- Limites infinies et limites en l'infiniComprends pourquoi 1x2 devient énorme près de zéro, trace une asymptote horizontale et lève les formes indéterminées « ∞ sur ∞ » et « ∞ moins ∞ ».
- Continuité et taux de variationVois quand on peut tracer une courbe sans lever le crayon, trouve le k qui rend une fonction continue, puis resserre un taux de variation moyen jusqu'à obtenir un taux instantané.
- De la sécante à la tangente : ce qu'est un nombre dérivéFais glisser un point Q le long de la courbe vers P, regarde dans un tableau le coefficient directeur de la sécante se rapprocher de celui de la tangente, trace la tangente et vois pourquoi un point anguleux n'a pas de nombre dérivé.
- Les règles de dérivationEssaie les formules de dérivation (puissance, produit, quotient) en un point, et vérifie-les avec une tangente sur un graphique.
- Dérivées du sinus, de l'exponentielle, du logarithme et des fonctions réciproquesTeste la dérivée de sin x près de zéro, trace la tangente à ex, trouve la dérivée de ln x grâce à la symétrie avec ex par rapport à la droite y = x, puis applique la règle de la fonction réciproque à arctan.
- Dérivation implicite, courbes paramétrées, dérivée seconde et taux liésTrouve le coefficient directeur de la tangente à un cercle par dérivation implicite, celui d'une courbe paramétrée, calcule une dérivée seconde et vois comment la variation d'un côté fait varier l'aire.
- Équation de la tangente, maximum et minimum sur un intervalleÉcris l'équation de la tangente avec y = f(a) + f′(a)(x − a), trouve une tangente parallèle à une droite donnée et une tangente passant par un point hors de la courbe, puis cherche le maximum et le minimum d'une fonction sur [a;b].
- Le signe de la dérivée et l'allure de la courbeUtilise le signe de f′(x) pour trouver où une courbe monte et descend, place les points à tangente horizontale et calcule la valeur d'un extremum.
- Théorème de Rolle, règle de l'Hôpital et développements de MaclaurinTrouve où la tangente est horizontale, trouve le point du théorème des accroissements finis, calcule une limite 0/0 avec les dérivées et trouve un coefficient du développement de Maclaurin de cosh x.
- Estimer une aire, sommes de Riemann et méthode des trapèzesEstime l'aire sous la courbe y = x2 avec des rectangles étroits puis avec des trapèzes, et regarde vers quel nombre les estimations se rapprochent quand les bandes deviennent plus fines.
- De la primitive à l'intégraleTrouve une primitive et vois pourquoi il faut ajouter +C, calcule une intégrale avec F(b) − F(a), cherche la valeur moyenne d'une fonction et fais connaissance avec la primitive de 1x.
- Méthodes de calcul d'intégralesChange de variable et de bornes ensemble, intègre par parties, décompose une fraction en éléments simples, choisis un changement de variable trigonométrique et décide si une intégrale généralisée a une valeur.
- Aires, volumes et longueurs d'arc par intégrationUtilise l'intégrale définie pour calculer l'aire sous une courbe et entre deux courbes, puis un volume de révolution, une longueur d'arc et une aire en coordonnées polaires.
- Équations différentiellesÉcris une vitesse de variation sous la forme d'une équation différentielle, trouve la solution y = Cekx sur un graphique et résous une équation à variables séparées avec une condition initiale.
- Étude de fonctions et problèmes d'optimisationTrouve les asymptotes et les points remarquables d'une courbe, puis utilise un maximum pour résoudre des problèmes : aire maximale, volume maximal.
- Un plan d'étude pour tracer une courbeÉtudie une fonction avec un plan : ensemble de définition, parité, zéros, variations, extremums, puis marque les points clés de la courbe.
- Le tableau de variations à partir du signe de la dérivéeÀ partir du signe de la dérivée sur chaque intervalle, marque par des flèches où la fonction est croissante ↗ et où elle est décroissante ↘, puis trouve les extremums.
- De la courbe de f à la courbe de f′Trouve où f′ s'annule, lis f′ sur la courbe de f, repère le point d'inflexion comme extremum de f′ et l'instant de croissance la plus rapide.
- Fonction intégrale et théorème fondamentalFais le bilan des aires jusqu'à x, trouve les extremums de la fonction intégrale et calcule avec J(x) = F(x) − F(a).
Résolution de problèmes
17
- Résoudre un problème : faire un schémaLis le problème. Dis ce que tu sais et ce que tu cherches. Fais un schéma, puis résous.
- Résoudre un problème : écrire une égalitéTransforme une histoire en égalité. Mets une case □ à la place du nombre que tu ne connais pas, puis trouve-le.
- Résolution de problèmes : schéma, régularité, élimination, essaisQuatre façons de résoudre un problème : écrire tous les cas dans l'ordre, trouver la régularité, barrer ce qui est impossible, et essayer, vérifier, corriger.
- Résolution de problèmes : étapes, cas plus simples et listes organiséesDécoupe un problème en étapes, résous d'abord un cas plus simple, liste tous les cas dans l'ordre et choisis toi-même ta méthode.
- résolution de problèmes : des stratégies pour la 6e et la 5eEntraîne-toi à lister les cas de façon organisée, à décomposer un problème en étapes et à le résoudre d'abord avec des nombres plus simples.
- résolution de problèmes : bénéfice et informations utilesTrouve le bénéfice d'un commerçant avec un tableau, puis décide quels nombres un problème utilise, lesquels sont inutiles, ou si un nombre manque.
- Problème : les données, le calcul et la phrase réponseNote les données, écris l'égalité, résous le problème en une ou deux étapes et rédige la phrase réponse.
- Problèmes : fois plus, combien de plus, le problème inverseRends un nombre plusieurs fois plus grand, compare avec « combien de fois », résous des problèmes de forme indirecte et des problèmes inverses.
- Problèmes avec un tableau : prix, quantité, prix totalÉcris le résumé d'un problème sous forme de tableau « prix unitaire, quantité, prix total » et résous des problèmes sur la somme, la différence et le rapport de deux produits.
- Les problèmes à plusieurs étapesDistingue un problème à une étape d'un problème à plusieurs étapes, puis écris la solution étape par étape et en une seule expression avec des parenthèses.
- Les problèmes à plusieurs étapes avec × et ÷Résous des problèmes à plusieurs étapes : le reste, la somme et la différence de produits, et « plusieurs fois plus » ou « plusieurs fois moins ».
- Comparer deux problèmes : qu'est-ce qui a changé ?Compare deux problèmes proches, prévois comment la solution change, puis résous le problème modifié.
- Données, calcul, phrase réponsePrésente un problème comme dans le cahier : Données, Ce qu'on cherche, Calcul (par questions, par étapes ou en une seule expression) et Phrase réponse.
- Énigmes de logiqueRésous des casse-tête : remplis un tableau à partir d'indices, trouve les chevaliers et les menteurs, fais des transvasements et découvre le coupable.
- Programmes de calcul et algorithmesSuis un programme de calcul étape par étape, fais fonctionner un algorithme et remets dans le bon ordre les étapes d'un plan.
- Consommation et variationRésous en étapes des problèmes sur la consommation (« par jour × nombre de jours ») et sur la variation (« avant − après »), puis écris la phrase réponse.
- Problèmes de Fermi : estimer ou calculer exactement ?Estime de grands nombres par étapes avec des grandeurs de référence, arrondis pour trouver un ordre de grandeur et décide quand un résultat exact est nécessaire.