بردار در صفحه: مختصات، اندازه، ضرب داخلی

مختصات بردار در صفحه در فصل «بردار و مختصات» ریاضی هشتم آمده و ضرب داخلی در فصل ۳ هندسهٔ ۳ دوازدهم. بردار با مختصات داده می‌شود: اگر A (x_۱,y_۱) و B (x_۲,y_۲) باشد، AB (x_۲ − x_۱,y_۲ − y_۱) است. اندازهٔ a (a_۱,a_۲) برابر |a| = √(a_۱^۲ + a_۲^۲) است.

زاویهٔ بین دو بردار ناصفر a و b زاویهٔ AOB است که OA = a و OB = b. آن را ∠(a, b) می‌نویسیم؛ برای بردارهای هم‌جهت ۰° و برای بردارهای خلاف جهت ۱۸۰° است. وقتی زاویه ۹۰° باشد بردارها بر هم عمودند: a ⊥ b.

ضرب داخلی دو بردار ناصفر برابر است با حاصل‌ضرب اندازه‌هایشان در کسینوس زاویهٔ بینشان: a · b = |a| |b| cos ∠(a, b). با مختصات: a · b = a_۱b_۱ + a_۲b_۲. دو بردار درست وقتی بر هم عمودند که ضرب داخلی‌شان صفر باشد.

کسینوس زاویهٔ بین دو بردار ناصفر: cos∠(a,b) = a_۱b_۱ + a_۲b_۲√(a_۱^۲ + a_۲^۲)·√(b_۱^۲ + b_۲^۲).