چه کسی راست می‌گوید؟

سه بچه معما بازی می‌کنند. هر کدام یا همیشه راست می‌گوید یا همیشه دروغ. اولی می‌گوید: دومی دروغ می‌گوید. دومی می‌گوید: سومی دروغ می‌گوید. سومی می‌گوید: آن دو تا هر دو دروغ می‌گویند.

سه بچه: $A$ و $B$ و $C$، هر کدام همیشه راستگو ($t=\mathrm{۱}$) یا همیشه دروغ‌گو ($t=\mathrm{۰}$). $A$ می‌گوید «$B$ دروغ می‌گوید»، $B$ می‌گوید «$C$ دروغ می‌گوید»، $C$ می‌گوید «$A$ و $B$ هر دو دروغ می‌گویند».

$t_A,t_B,t_C\in \{\mathrm{۰},\mathrm{۱}\}$؛ $t_A=\mathrm{۱}\iff t_B=\mathrm{۰}$؛ $t_B=\mathrm{۱}\iff t_C=\mathrm{۰}$؛ $t_C=\mathrm{۱}\iff (t_A=\mathrm{۰}\wedge t_B=\mathrm{۰})$.

فرض کن سومی راستگو باشد. آن وقت آن دو تا هر دو دروغ‌گو هستند. اما اولی گفته است دومی دروغ می‌گوید، و چون اولی دروغ‌گو است، این حرف دروغ است، پس دومی راستگو است. این با دروغ‌گو بودن دومی نمی‌خواند. پس سومی راستگو نیست.

فرض کنیم $t_C=\mathrm{۱}$. آن وقت $t_A=\mathrm{۰}$ و $t_B=\mathrm{۰}$. اما $t_A=\mathrm{۰}$ یعنی حرف «$B$ دروغ می‌گوید» نادرست است، پس $t_B=\mathrm{۱}$ و این تناقض است. بنابراین $t_C=\mathrm{۰}$.

اگر $t_C=\mathrm{۱}$ آنگاه $(t_A,t_B)=(\mathrm{۰},\mathrm{۰})$ ولی $t_A=\mathrm{۰}$ پس $t_B=\mathrm{۱}$ و تناقض است. پس $t_C=\mathrm{۰}$.

پس سومی دروغ‌گو است. دومی گفته است سومی دروغ می‌گوید، و این درست است، پس دومی راستگو است. اولی گفته است دومی دروغ می‌گوید، و این نادرست است، پس اولی دروغ‌گو است.

با $t_C=\mathrm{۰}$ حرف $B$ یعنی «$C$ دروغ می‌گوید» درست است، پس $t_B=\mathrm{۱}$. حرف $A$ یعنی «$B$ دروغ می‌گوید» نادرست است، پس $t_A=\mathrm{۰}$.

$t_C=\mathrm{۰}\Rightarrow t_B=\mathrm{۱}\Rightarrow t_A=\mathrm{۰}$.

جواب این است که فقط دومی راست می‌گوید. سومی را بازبینی کن: حرفش که هر دو دروغ‌گو هستند نادرست است، چون دومی راستگو است، و این به دروغ‌گو بودن او می‌خورد. شگفتی این است که آن که وسط بود راستگو بود، و آن که بزرگ‌ترین ادعا را کرد دروغ می‌گفت.

جواب $(t_A,t_B,t_C)=(\mathrm{۰},\mathrm{۱},\mathrm{۰})$ است، یعنی فقط $B$ راست می‌گوید. شگفتی این است که آن که وسط بود راستگو بود.

$(t_A,t_B,t_C)=(\mathrm{۰},\mathrm{۱},\mathrm{۰})$ ✓.