صفی که کوتاه شد

خبر خوب از باجهٔ بلیت: صفی هشت‌نفره که از ابتدای کار باجه آنجا بود، امروز صبح تمام شد. باجه هر دو دقیقه کار یک نفر را تمام می‌کند.

خبر خوب از باجهٔ بلیت: صف $\mathrm{۸}$ نفره تمام شد. باجه هر $\mathrm{۲}$ دقیقه کار یک نفر را تمام می‌کند.

صف $L$، رفتن $s=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ و آمدن $a=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۴}}$ (نفر در دقیقه).

تنها هر چهار دقیقه یک نفر تازه به صف می‌پیوندد. پس در چهار دقیقه دو نفر می‌روند و یک نفر می‌آید: صف هر چهار دقیقه یک نفر کوتاه‌تر می‌شود.

نفر تازه فقط هر $\mathrm{۴}$ دقیقه می‌رسد. در $\mathrm{۴}$ دقیقه $\mathrm{۲}$ نفر می‌روند و $\mathrm{۱}$ نفر می‌آید، یعنی تغییر صف $-\mathrm{۱}$ نفر در هر $\mathrm{۴}$ دقیقه است.

$\Delta t=\mathrm{۴}\Rightarrow \Delta L=(a-s)\Delta t=-\mathrm{۱}$.

صف از هشت نفر شروع شد، بعد از چهار دقیقه هفت نفر شد، بعد از هشت دقیقه شش نفر، و همین‌طور ادامه یافت. پس از سی‌ودو دقیقه کسی نماند. به زبان فرمول: به‌طور میانگین طول صف هشت منهای یک‌چهارم زمان (به دقیقه) است.

طول صف $L$ در زمان $t$ (دقیقه): $L(\mathrm{۰})=\mathrm{۸}$ و $L(\mathrm{۴})=\mathrm{۷}$ و $L(\mathrm{۸})=\mathrm{۶}$. پس $L(t)=\mathrm{۸}-\frac{t}{\mathrm{۴}}$ و $L(\mathrm{۳۲})=\mathrm{۰}$.

$L(t)=\mathrm{۸}-\frac{t}{\mathrm{۴}},\mathrm{۰}\le t\le \mathrm{۳۲},L(\mathrm{۳۲})=\mathrm{۰}$.

اگر هر دقیقه یک نفر تازه می‌رسید، همه‌چیز فرق می‌کرد. آن وقت صف در هر دقیقه نیم نفر بلندتر می‌شد: هشت به‌علاوهٔ نصف زمان، و بعد از یک ساعت سی‌وهشت نفر. چنین صفی تا ابد بزرگ می‌شد.

اگر هر $\mathrm{۱}$ دقیقه یک نفر می‌رسید، در هر دقیقه $\mathrm{۱}-\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$ نفر اضافه می‌شد. پس $L(t)=\mathrm{۸}+\frac{t}{\mathrm{۲}}$ و $L(\mathrm{۶۰})=\mathrm{۳۸}$ و صف تا ابد بزرگ می‌شد.

اگر $a=\mathrm{۱}$ آنگاه $L(t)=\mathrm{۸}+\frac{t}{\mathrm{۲}}$ و $L(\mathrm{۶۰})=\mathrm{۳۸}$.