سکه تصمیم می‌گیرد

سکهٔ درست یا شیر می‌آید یا خط، و شانس هر کدام یک دوم است. وقتی نمی‌توانی میان دو چیز تصمیم بگیری، پرتاب سکه راه خوبی است.

سکهٔ درست: $P(H)=P(T)=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$. دو چیز، یک پرتاب.

$P(H)=P(T)=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}$.

برای انتخاب میان سه چیز، دو بار پرتاب کن. شیر و شیر یعنی اولی، شیر و خط یعنی دومی، خط و شیر یعنی سومی. خط و خط یعنی دوباره دو بار پرتاب کن. هر کدام از این چهار حالت شانس یک چهارم دارد.

سه چیز، دو پرتاب: $HH\to \mathrm{۱}$ و $HT\to \mathrm{۲}$ و $TH\to \mathrm{۳}$ و برای $TT$ دوباره. شانس هر زوج $\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}\times \frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۲}}=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۴}}$ است.

$HH\to \mathrm{۱},HT\to \mathrm{۲},TH\to \mathrm{۳},TT\to \circlearrowleft$ و $P(HH)=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۴}}$.

پس هر دور سه بار از چهار بار به انتخاب می‌رسد. شانس انتخاب شدن اولی، در پایان، یک چهارم تقسیم بر سه چهارم است، یعنی یک سوم، و همین‌طور برای دومی و سومی: هر سه عادلانه‌اند. به‌طور میانگین چهار سوم دور لازم است، یعنی هشت سوم پرتاب، حدود دو و هفت‌دهم پرتاب.

دور را $D$ بنامیم که تصمیم گرفته شود. $P(D)=\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۴}}$ و $P(\mathrm{۱}\mid D)=\frac{۱/۴}{۳/۴}=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۳}}$ و برای دومی و سومی هم همین. میانگین دورها $\frac{\mathrm{۱}}{۳/۴}=\frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۳}}$ است، پس پرتاب‌ها $\mathrm{۲}\times \frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۳}}=\frac{\mathrm{۸}}{\mathrm{۳}}\approx ۲٫۷$.

دور $D$ تصمیم می‌گیرد، $P(D)=\frac{\mathrm{۳}}{\mathrm{۴}}$ و $P(\mathrm{۱}\mid D)=\frac{۱/۴}{۳/۴}=\frac{\mathrm{۱}}{\mathrm{۳}}$. تعداد پرتاب‌ها $E$ است و $E=\mathrm{۲}\cdot \frac{\mathrm{۴}}{\mathrm{۳}}=\frac{\mathrm{۸}}{\mathrm{۳}}\approx ۲٫۷$.

شگفتی: وقتی سکه در هواست، اغلب می‌فهمی دلت کدام طرف را می‌خواهد. پس تصمیمت را گرفته‌ای و دیگر پرتاب لازم نبود.

وقتی سکه در هواست و دلت یک طرف را می‌خواهد، $h\in \{H,T\}$، تصمیم گرفته‌ای و پرتاب لازم نبود.

دلخواه $h$ و $h\in \{H,T\}$، پس تصمیم گرفته‌ای.