سود روی سود

صد سکه در صندوقی بگذار که سالی ده درصد سود می‌دهد. بعد از یک سال صد و ده سکه داری.

$\mathrm{۱۰۰}$ سکه با سود $۱۰\%$ در سال: بعد از یک سال $\mathrm{۱۰۰}\times ۱٫۱=\mathrm{۱۱۰}$.

پول بعد از $n$ سال را $A_n$ می‌نامیم: $A_n=\mathrm{۱۰۰}\cdot \mathrm{۱.}{\mathrm{۱}}^n$ و $A_{\mathrm{۱}}=\mathrm{۱۱۰}$.

در سال دوم ده درصد سود روی صد و ده سکه حساب می‌شود، نه روی صد سکه: یازده سکه، و می‌شود صد و بیست و یک. در سال سوم دوازده و یک دهم سکه می‌آید و می‌شود ۱۳۳٫۱.

سال دوم سود روی $\mathrm{۱۱۰}$ حساب می‌شود: $\mathrm{۱۱۰}\times ۱٫۱=\mathrm{۱۲۱}$. سال سوم $\mathrm{۱۲۱}\times ۱٫۱=۱۳۳٫۱$ می‌شود، یعنی $\mathrm{۱۰۰}\times \mathrm{۱.}{\mathrm{۱}}^{\mathrm{۳}}=۱۳۳٫۱$.

$A_{\mathrm{۲}}=\mathrm{۱۲۱}$ و $A_{\mathrm{۳}}=۱۳۳٫۱$.

اگر سود فقط روی صد سکهٔ اول حساب می‌شد، هر سال ده سکه می‌آمد و بعد از سه سال صد و سی سکه داشتی. آن ۳٫۱ سکهٔ اضافه، سود روی سود است.

سود ساده $\mathrm{۱۰۰}+\mathrm{۳}\times \mathrm{۱۰}=\mathrm{۱۳۰}$ می‌داد. اضافه $۱۳۳٫۱-\mathrm{۱۳۰}=۳٫۱$ است، یعنی سود روی سود.

سود ساده $\mathrm{۱۳۰}$ می‌داد و $A_{\mathrm{۳}}-\mathrm{۱۳۰}=۳٫۱$.

یک قاعدهٔ سرانگشتی: هفتاد و دو را بر درصد سود تقسیم کن تا سال‌های دو برابر شدن به دست آید، اینجا هفت و دو دهم سال. راستش بین هفت و هشت سال است: بعد از هفت سال هنوز دو برابر نشده‌ای و بعد از هشت سال شده‌ای.

قاعدهٔ هفتاد و دو: $\frac{\mathrm{۷۲}}{\mathrm{۱۰}}=۷٫۲$ سال. در واقع $\mathrm{۱.}{\mathrm{۱}}^{\mathrm{۷}}\approx ۱٫۹۵<\mathrm{۲}<\mathrm{۱.}{\mathrm{۱}}^{\mathrm{۸}}\approx ۲٫۱۴$.

$\frac{\mathrm{۷۲}}{\mathrm{۱۰}}=۷٫۲$ سال؛ در واقع $A_{\mathrm{۷}}<\mathrm{۲۰۰}<A_{\mathrm{۸}}$.