یاد گرفتن از خطا

دارم یاد می‌گیرم توپ را در سبد بیندازم. پرتابِ اولم صد سانتی‌متر خطا دارد و بیش از اندازه به راست می‌رود.

پرتابِ اول: خطای $e_{\mathrm{۰}}=\mathrm{۱۰۰}$ سانتی‌متر.

$e_{\mathrm{۰}}=\mathrm{۱۰۰}$

رها نمی‌کنم و دوباره همان‌طور هم پرتاب نمی‌کنم. به خطا نگاه می‌کنم و بخشی از آن را درست می‌کنم: بعد از هر پرتاب، هفتاد درصدِ خطای قبلی باقی می‌ماند. پس خطا می‌شود ۱۰۰، بعد ۷۰، بعد ۴۹، بعد ۳۴٫۳.

بعد از هر پرتاب هفتاد درصدِ خطا می‌ماند: $e_{n+\mathrm{۱}}=۰٫۷e_n$، پس $e_n=\mathrm{۱۰۰}\cdot \mathrm{۰.}{\mathrm{۷}}^n$. یعنی $e_{\mathrm{۱}}=\mathrm{۷۰}$، $e_{\mathrm{۲}}=\mathrm{۴۹}$ و $e_{\mathrm{۳}}=۳۴٫۳$.

$e_{n+\mathrm{۱}}=۰٫۷e_n\Rightarrow e_n=\mathrm{۱۰۰}\cdot \mathrm{۰.}{\mathrm{۷}}^n$

سبد هر پرتابی را که خطایش کمتر از ۲۰ سانتی‌متر باشد قبول می‌کند. پرتابِ پنجم ۲۴٫۰۱ خطا دارد و بیرون می‌ماند، ولی پرتابِ ششم ۱۶٫۸۰۷ خطا دارد و توی سبد می‌افتد.

سبد خطای کمتر از $\mathrm{۲۰}$ سانتی‌متر را می‌پذیرد. $e_{\mathrm{۴}}=۲۴٫۰۱>\mathrm{۲۰}$ ولی $e_{\mathrm{۵}}=۱۶٫۸۰۷<\mathrm{۲۰}$، پس پرتابِ ششم می‌افتد. بنابراین $\exists n,e_n<\mathrm{۲۰}$ و کوچک‌ترین $n$ برابر $\mathrm{۵}$ است.

$e_{\mathrm{۴}}=۲۴٫۰۱>\mathrm{۲۰}>۱۶٫۸۰۷=e_{\mathrm{۵}}$، $\exists n,e_n<\mathrm{۲۰}$

اگر چیزی را عوض نکنم، خطا برای همیشه ۱۰۰ می‌ماند و توپ هرگز توی سبد نمی‌افتد. خطایی که از آن استفاده کنم کوچک می‌شود و به صفر نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود. کسی که هیچ‌وقت خطا نکند، راه اصلاح را هم نمی‌داند.

اگر چیزی را عوض نکنم، برای هر $n$ داریم $e_n=\mathrm{۱۰۰}$. اگر از خطا استفاده کنم، ${\lim }_{n\to \infty }{e}_n=\mathrm{۰}$.

$\forall n,e_n=\mathrm{۱۰۰}$؛ ${\lim }_{n\to \infty }{e}_n=\mathrm{۰}$