ریاضی را حرف بزن · سال‌های آخر مدرسه

مجموع و شمارش: روی هم چیدن قوطی‌ها

جمع‌کردن فهرست‌های بلند، ضرب‌کردن فهرست‌های بلند و شمردن انتخاب‌ها هر کدام علامت کوتاهی دارند. وقتی بتوانی بخوانیشان، یک الگوی کامل در یک خط جا می‌شود.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$a_{۱}, a_{۲}, \dots, a_{n}$ بخوان: a یک، a دو، و همین‌طور تا a انیعنی: ردیفی از عددها؛ عدد کوچک پایین جای عدد را نشان می‌دهد، یعنی اندیس
$\sum_{i = ۱}^{n} a_{i}$ بخوان: سیگما، مجموع a_i وقتی i از ۱ تا n می‌رودیعنی: a با اندیس ۱ و a با اندیس ۲ و همین‌طور تا a با اندیس n را جمع کن
$\prod_{i = ۱}^{n} a_{i}$ بخوان: پی بزرگ، حاصل‌ضرب a_i وقتی i از ۱ تا n می‌رودیعنی: a با اندیس ۱ و a با اندیس ۲ و همین‌طور تا a با اندیس n را در هم ضرب کن
$n!$ بخوان: n فاکتوریلیعنی: همهٔ عددهای صحیح از n تا ۱ را در هم ضرب کن
$(k n)$ بخوان: n انتخاب kیعنی: به چند راه می‌شود k چیز از n چیز برداشت، بدون توجه به ترتیب
$\sum_{i = ۱}^{n} i = \frac{n ( n + ۱ )}{۲}$ بخوان: مجموع i وقتی i از ۱ تا n می‌رود برابر است با n ضرب در n به‌اضافهٔ ۱ تقسیم بر ۲یعنی: جمع عددهای ۱ تا n فرمول کوتاهی دارد

داستان: قوطی‌ها در یک مثلث

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$a_{i} = i$ در یک مثلثِ قوطی‌ها، ردیف i‌ام i قوطی دارد.
$a_{۱} + a_{۲} + a_{۳} = ۶$ سه ردیف ۱ + ۲ + ۳ = ۶ قوطی دارند.
$i = ۱ \sum ۴ i = ۱۰$ چهار ردیف ۱۰ قوطی دارند.
$i = ۱ \sum n i = \frac{n ( n + ۱ )}{۲}$ n ردیف، n ضرب در n به‌اضافهٔ ۱ تقسیم بر ۲ قوطی دارند.
$i = ۱ \sum ۱۰ i = \frac{۱۰ \cdot ۱۱}{۲} = ۵۵$ ده ردیف ۵۵ قوطی می‌خواهند.
$i = ۱ \prod ۴ i = ۴! = ۲۴$ حاصل‌ضرب اندازهٔ چهار ردیف ۲۴ می‌شود: همان ۴ فاکتوریل.
$(۲ ۵) = \frac{۵ !}{۲ ! ۳ !} = ۱۰$ برای یک نمایش ۲ قوطی از ۵ قوطی برمی‌داریم؛ ۱۰ راه دارد.
$i = ۱ \sum ۴ i = (۲ ۵)$ همان ۱۰! تعداد قوطی‌های چهار ردیف برابر است با تعداد راه‌های برداشتن ۲ قوطی از ۵ قوطی.
$i = ۱ \sum n i = (۲ n + ۱)$ همیشه همین‌طور است: تعداد قوطی‌های n ردیف برابر است با تعداد راه‌های برداشتن ۲ قوطی از n + ۱ قوطی.

این داستان با کلمه‌ها ۴۸۰ حرف است؛ با نمادها ۱۰۰.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$i = ۱ \sum ۳ i^{۲}$

$۵!$

$(۲ ۶)$

$k = ۱ \prod ۴ ۲ = ۱۶$

$k = ۰ \sum ۳ ۲^{k}$

$i = ۱ \prod ۳ ۲ i$

$(۰ n) = ۱$

$i = ۱ \sum n ۱ = n$

$(n + ۱)! = (n + ۱) \cdot n!$

$i = ۱ \sum ۲۰ i = ۲۱۰$

$a_{i} = ۳ i$

$(۲ ۴) = ۶$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

عددهای ۱ تا ۱۰۰ را جمع کن.

تعداد راه‌های انتخاب ۳ چیز از ۸ چیز.

همهٔ عددهای صحیح از ۱ تا n را در هم ضرب کن.

مربع‌های عددهای ۱ تا ۵ را جمع کن.

عددهای ۱ تا ۶ را در هم ضرب کن.

تعداد راه‌های انتخاب ۲ چیز از ۱۰ چیز.

مجموع عددهای ۱ تا n، با فرمول کوتاه.

حاصل‌ضرب n عدد زوج اول.

جملهٔ پنجم دنبالهٔ a.

عددهای فرد ۱ و ۳ و ۵ و ۷ را جمع کن.

سه فاکتوریل ضرب در دو فاکتوریل.

مجموع عددهای ۱ تا ۵۰ برابر است با ۵۰ ضرب در ۵۱ تقسیم بر ۲.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

مجموع i وقتی i از ۱ تا ۴ می‌رود برابر ۱۰ است.

پنج انتخاب دو مساوی است با پنج فاکتوریل تقسیم بر دو فاکتوریل ضرب در سه فاکتوریل.

سه فاکتوریل برابر است با سه ضرب در دو ضرب در یک.

مجموع i وقتی i از ۱ تا n می‌رود برابر است با n + ۱ انتخاب ۲.

حاصل‌ضرب i وقتی i از ۱ تا ۳ می‌رود برابر ۶ است.

دنبالهٔ a یک، a دو و همین‌طور تا a ان.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 چراغ‌ها و شب‌ها

چهار چراغ و سه شب. a_i تعداد شب‌هایی باشد که چراغ i روشن بوده است. هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$N_{۱}$	$N_{۲}$	$N_{۳}$
$L_{۱}$	✓	✓	✓
$L_{۲}$	✓	✓
$L_{۳}$		✓	✓
$L_{۴}$	✓

تیک یعنی چراغ آن شب روشن بوده است. a_i تعداد تیک‌های سطر i است.

$\sum_{i = ۱}^{۴} a_{i} = ۸$
$\sum_{i = ۱}^{۴} a_{i} = ۹$
$a_{۱} = a_{۲} + a_{۴}$
$\prod_{i = ۱}^{۳} a_{i} = ۱۲$
$\sum_{i = ۲}^{۴} a_{i} = ۶$
$\prod_{i = ۱}^{۴} a_{i} = ۰$

2 با کلمه بگو

هر سطر را به کاری که از تو می‌خواهد وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 لغزش در مجموع

جمع ۱ تا ۱۰ باید جواب فرمول کوتاه را بدهد. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 پنج انتخاب دو

این «۵ انتخاب ۲» را حساب می‌کند. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

5 گاوس در یک دقیقه

همهٔ عددهای صحیح از ۱ تا ۱۰۰ را جمع کن. چه می‌شود؟

$i = ۱ \sum ۱۰۰ i$

6 صفری در حاصل‌ضرب

در اینجا جملهٔ اول ۴ است، جملهٔ دوم ۳ و همین‌طور تا آخر. حاصل‌ضرب چیست؟

$a_{i} = ۵ - i, i = ۱ \prod ۵ a_{i}$

7 جمع عددهای فرد

n عدد فرد اول را جمع کن: ۱، ۱ + ۳، ۱ + ۳ + ۵، … همیشه n² می‌شود (n = ۴ می‌شود ۱۶). با نماد بنویس، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

8 دست دادن

n نفر هر کدام با هر کس دیگر یک بار دست می‌دهد. تعداد دست دادن‌ها را با ترکیب و با یک فرمول بنویس. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

9 فنجان‌های چای

چهار روز، سه فنجان. a_i تعداد فنجان‌هایی باشد که روز i نوشیده شده است. هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$k_{۱}$	$k_{۲}$	$k_{۳}$
$d_{۱}$	✓	✓
$d_{۲}$	✓	✓	✓
$d_{۳}$			✓
$d_{۴}$	✓		✓

تیک یعنی آن فنجان در آن روز نوشیده شده است؛ a_i تعداد تیک‌های سطر i است.

$\sum_{i = ۱}^{۴} a_{i} = ۸$
$\prod_{i = ۱}^{۴} a_{i} = ۱۲$
$a_{۲} = \sum_{i = ۳}^{۴} a_{i}$
$\sum_{i = ۱}^{۲} a_{i} = \sum_{i = ۳}^{۴} a_{i}$
$\prod_{i = ۱}^{۴} a_{i} = \sum_{i = ۱}^{۴} a_{i}$
$a_{۲}! = \sum_{i = ۱}^{۴} a_{i}$

10 راه‌پله

قوطی‌ها روی چهار پله: پلهٔ i، a_i قوطی دارد، هر تیک یک قوطی. هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$۱$	$۲$	$۳$	$۴$
$a_{۱}$	✓
$a_{۲}$	✓	✓
$a_{۳}$	✓	✓	✓
$a_{۴}$	✓	✓	✓	✓

هر تیک یک قوطی است؛ a_i تعداد تیک‌های سطر i است، پس a_i = i.

$\sum_{i = ۱}^{۴} a_{i} = \frac{۴ \cdot ۵}{۲}$
$\prod_{i = ۱}^{۴} a_{i} = ۴!$
$\sum_{i = ۱}^{۳} a_{i} = ۲^{۳}$
$\prod_{i = ۱}^{۴} a_{i} = \sum_{i = ۱}^{۴} a_{i}$
$\sum_{i = ۱}^{۴} a_{i} = (۲ ۵)$
$a_{۴}! = \sum_{i = ۱}^{۴} a_{i}$

11 چهار کارت

چهار کارت روی میز. هر شمارش را به آنچه می‌شمارد وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

12 ریزه‌کاری‌ها

پنج سطر که شبیه هم‌اند. هر کدام را به جمع یا ضربی که نشان می‌دهد وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

13 چهار عدد فرد اول

این باید بگوید: مجموع چهار عدد فرد اول ۱۶ است. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

14 شش فاکتوریل

این ۶! را گام‌به‌گام حساب می‌کند و در راه از ۵! استفاده می‌کند. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

15 چند ردیف؟

یک مثلث قوطی روی هم ۲۱ قوطی دارد. چند ردیف دارد؟

$i = ۱ \sum n i = ۲۱ n = ?$

16 بُر زدن کارت‌ها

n کارت متفاوت را می‌توان به n فاکتوریل راه در یک ردیف چید، و n فاکتوریل حاصل‌ضرب همهٔ عددهای ۱ تا n است. با نماد بنویس. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان سه‌خطی دربارهٔ ردیف‌هایی از چیزی بنویس که روی هم چیده یا کنار هم صف شده‌اند، فقط با علامت‌ها: ردیف‌ها را با مجموع جمع کن، انتخاب‌ها را با «n انتخاب k» بشمار. بعد آن را بلند بخوان.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

مجموع و شمارش: روی هم چیدن قوطی‌ها

الفبا

داستان: قوطی‌ها در یک مثلث

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 چراغ‌ها و شب‌ها

2 با کلمه بگو

3 لغزش در مجموع

4 پنج انتخاب دو

5 گاوس در یک دقیقه

6 صفری در حاصل‌ضرب

7 جمع عددهای فرد

8 دست دادن

9 فنجان‌های چای

10 راه‌پله

11 چهار کارت

12 ریزه‌کاری‌ها

13 چهار عدد فرد اول

14 شش فاکتوریل

15 چند ردیف؟

16 بُر زدن کارت‌ها

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت