ریاضی را حرف بزن · دانشگاه

چگونه یک قطعهٔ فشرده را بخوانیم

یک قطعهٔ فشرده را از چپ به راست نخوان به این امید که معلوم شود. تعریف‌ها را پیدا کن، نشانه‌ها را فهرست کن، بلند بخوان، در یک جمله بگو و یک مورد را با عدد واقعی بیازمای.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$x \in A$ بخوان: x عضو A استیعنی: می‌گوید یک حرف کجا زندگی می‌کند. پیش از خواندن فرمول، این خط را برای هر حرف پیدا کن: می‌گوید حرف چه نوع چیزی است.
$f : A \to B$ بخوان: f از A به Bیعنی: امضای یک تابع: چه چیزی وارد می‌شود (از A) و چه چیزی خارج می‌شود (در B). هنوز دربارهٔ قاعده چیزی نمی‌گوید.
$x \mapsto x^{۲}$ بخوان: x به x² می‌رودیعنی: خود قاعده، بدون نام بردن از تابع: هر x که باشد، در قاعده بگذار و نتیجه را بخوان.
$\forall x \in A$ بخوان: برای هر x در Aیعنی: حرف x را برای آنچه بعد می‌آید مقید می‌کند. دامنهٔ آن تا آخر فرمول یا پرانتز است؛ بیرون از آن x معنایی ندارد.
$a_{۱}, a_{۲}, \dots, a_{n}$ بخوان: a۱ و a۲ و … تا a nیعنی: الگویی ناتمام. حدس نزن: چند جملهٔ اول را با عددهای واقعی بنویس، بعد ببین نقطه‌چین‌ها چه چیزی‌اند.
$P \Rightarrow Q$ بخوان: اگر P آن‌گاه Qیعنی: پیکان اصلی یک قطعه: ادعا در یک جمله. اول آن را پیدا کن، بعد بپرس P و Q چه هستند.
$∣ x ∣ \leq C$ بخوان: اندازهٔ x حداکثر C استیعنی: یک کران: حدّی که چیزی هرگز از آن نمی‌گذرد. پیدا کن کدام حرف ثابت است (C) و کدام‌ها آزادانه تغییر می‌کنند.

داستان: پنج گام روی یک تابع

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$f : R \to R$ گام اول: تعریف‌ها را پیدا کن. تابع f یک عدد حقیقی می‌گیرد و یک عدد حقیقی می‌دهد.
$x \mapsto ۲ x + ۱$ قاعده: هر x به ۲x + ۱ می‌رود.
$\forall x, y \in R$ گام دوم: نشانه‌ها را فهرست کن. حرف‌های x و y هر عدد حقیقی‌اند.
$∣ f (x) - f (y)∣ = ۲ ∣ x - y ∣$ گام سوم: بلند بخوانش. فاصلهٔ دو خروجی دو برابر فاصلهٔ دو ورودی است.
$f (۳) = ۷, f (۱) = ۳$ گام چهارم: عدد بگذار. ۳ به ۷ می‌رود و ۱ به ۳.
$∣ ۷ - ۳ ∣ = ۴ = ۲ \cdot ۲ = ۲ ∣ ۳ - ۱ ∣$ دو خروجی ۴ از هم فاصله دارند؛ دو برابر فاصلهٔ ۲ ورودی‌ها هم ۴ است. حکم برای این مورد درست است.
$f (۱), f (۲), f (۳), \dots = ۳, ۵, ۷, \dots$ نقطه‌چین‌ها الگویی را پنهان می‌کنند: خروجی‌ها هر بار ۲ تا بالا می‌روند.
$∣ f (x) - f (y)∣ \leq ۲ ∣ x - y ∣$ گام پنجم: یک جمله. تابع هیچ فاصله‌ای را بیش از دو برابر نمی‌کند.
$x \neq = y \Rightarrow f (x) \neq = f (y)$ یک نتیجه: ورودی‌های متفاوت همیشه خروجی‌های متفاوت می‌دهند.

این داستان با کلمه‌ها ۵۷۸ حرف است؛ با نمادها ۱۱۷.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$g : N \to N, g (n) = n + ۱$

$\forall x \in R \exists y \in R : y > x$

$\forall n \geq ۱ : a_{n} \leq a_{n + ۱}$

$∣ f (x) - f (y)∣ \leq C ∣ x - y ∣$

$x \mapsto x^{۲} (x \in R)$

$S_{n} = ۱ + ۲ + \dots + n$

$f : A \to B, a \in A \Rightarrow f (a) \in B$

$\forall ε > ۰ \exists N : n > N \Rightarrow ∣ a_{n} - L ∣ < ε$

$x > ۲ \Rightarrow x^{۲} > ۴$

$∥ A x ∥ \leq C ∥ x ∥ \forall x \in V$

$x \neq = y \Rightarrow h (x) \neq = h (y)$

$\forall a \in A \exists! b \in B : b = f (a)$

$a_{n} = \frac{۱}{n} : ۱, \frac{۱}{۲}, \frac{۱}{۳}, \dots$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

f عددهای حقیقی را به عددهای حقیقی می‌برد.

قاعده‌ای که x را به x + ۳ می‌برد.

فاصلهٔ دو خروجی حداکثر ۵ برابر فاصلهٔ دو ورودی است.

برای هر x حقیقی، y حقیقی‌ای بزرگ‌تر از x هست.

عددهای صحیح از ۱ تا n را جمع کن.

جمله‌ها از ۳ و ۵ و ۷ شروع می‌شوند و الگو ادامه دارد.

ورودی‌های متفاوت خروجی‌های متفاوت می‌دهند.

اگر x از ۲ بزرگ‌تر باشد، مربعش از ۴ بزرگ‌تر است.

f هر عضو A را به یک عضو B می‌برد.

هر عضو A دقیقاً یک شریک در B دارد.

با عدد امتحان کن: برای f(x) = ۲x + ۱ مقدار f(۳) برابر ۷ است.

ماتریس A هیچ برداری را بیش از ضریب C نمی‌کشد.

از جایی مثل N به بعد، هر جمله در فاصلهٔ ε از L است.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

f عددهای طبیعی را به عددهای حقیقی می‌برد.

قاعده‌ای که x را به مربعش می‌برد.

برای هر x در A.

فاصلهٔ دو خروجی حداکثر C برابر فاصلهٔ دو ورودی است.

اگر x از ۲ بزرگ‌تر باشد، مربعش از ۴ بزرگ‌تر است.

جمله‌های ۳ و ۵ و ۷ و همین‌طور ادامه.

ورودی‌های متفاوت خروجی‌های متفاوت می‌دهند.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 یک تابع در یک جدول

F(a، b) یعنی: f عضو a را به b می‌برد. هر خط دربارهٔ این جدول را داوری کن.

	$b_{۱}$	$b_{۲}$
$a_{۱}$	✓
$a_{۲}$		✓
$a_{۳}$		✓

تیک یعنی f عضو سطر را به عضو ستون می‌برد.

$\forall a \exists! b : F (a, b)$
$\forall a, a^{'} : a \neq = a^{'} \Rightarrow \neg \exists b (F (a, b) \land F (a^{'}, b))$
$\forall b \exists a : F (a, b)$
$\exists a \exists a^{'} \exists b : a \neq = a^{'} \land F (a, b) \land F (a^{'}, b)$
$\exists b \forall a : \neg F (a, b)$

2 یک مورد را با عدد بیازمای

اینجا f(x) = x² روی عددهای ۰ تا ۳ است و B(x، y) می‌گوید: فاصلهٔ خروجی‌ها حداکثر دو برابر فاصلهٔ ورودی‌هاست. جدول پر شده است. هر خط را داوری کن.

	$۰$	$۱$	$۲$	$۳$
$۰$	✓	✓	✓
$۱$	✓	✓
$۲$	✓		✓
$۳$				✓

تیک یعنی B(x، y): فاصلهٔ f(x) و f(y) حداکثر ۲ برابر |x − y| است.

$B (۱, ۰)$
$B (۳, ۱)$
$\forall x : B (x, ۰)$
$\forall x \leq ۱ \forall y \leq ۱ : B (x, y)$
$\exists x \neq = y : B (x, y) \land B (y, x)$

3 بزرگ‌تر از، در یک دنیای کوچک

G(x، y) یعنی: y از x بزرگ‌تر است. دنیا فقط سه عدد دارد. هر خط را داوری کن.

	$۲$	$۳$
$۱$	✓	✓
$۲$		✓
$۳$

تیک یعنی عدد ستون از عدد سطر بزرگ‌تر است.

$\forall x \exists y : G (x, y)$
$\forall x \in {۱, ۲} \exists y : G (x, y)$
$\exists y \forall x \in {۱, ۲} : G (x, y)$
$\exists x \forall y : \neg G (x, y)$
$\forall y \exists x : G (x, y)$

4 نقش‌ها در یک قطعه

هر تکه را به کاری که هنگام خواندن می‌کند وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

5 نقطه‌چین‌ها چه چیزی را پنهان می‌کنند

هر خط را به آنچه می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

6 پنج پیکان

هر خط را به آنچه می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

7 یک امضا

این باید بگوید: f عددهای طبیعی را به عددهای حقیقی می‌برد. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

8 شریکِ چه کسی؟

این باید بگوید: برای هر x در A، y ای در B هست که y = f(x). یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

9 یک کران، نه کف

این باید بگوید: فاصلهٔ دو خروجی حداکثر C برابر فاصلهٔ دو ورودی است. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

10 یک قاعده، نه یک نتیجه

این باید قاعده‌ای را نام ببرد که x را به مکعبش می‌برد. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

11 دو بار جای‌گذاری کن

قاعده را بخوان، بعد دو بار به کارش ببر. f(f(۲)) چیست؟

$f : x \mapsto ۲ x + ۱, f (f (۲)) = ?$

12 الگو را نام بگذار

نقطه‌چین‌ها قاعده‌ای را پنهان می‌کنند. کدام فرمول a n را می‌دهد؟

$a_{۱}, a_{۲}, a_{۳}, a_{۴}, \dots = ۳, ۵, ۷, ۹, \dots, a_{n} = ?$

13 کجا می‌شکند؟

حکم را x به x بیازمای. کدام x آن را می‌شکند؟

$\forall x \in {۱, ۲, ۴} \exists y \in {۱, ۲, ۳} : x + y = ۴$

14 کوچک‌ترین سقف

کوچک‌ترین C که کران برای همهٔ x و y در [۰، ۱] برقرار است چیست؟

$∣ x^{۲} - y^{۲} ∣ \leq C ∣ x - y ∣ \forall x, y \in [۰, ۱] . C_{m i n} = ?$

15 کجا زندگی می‌کند؟

n هر عدد طبیعی‌ای باشد، «یک بر n» همیشه در کدام مجموعه است؟

$n \in N \Rightarrow \frac{۱}{n} \in ?$

16 همان یک جمله، در نماد

تابع f هیچ فاصله‌ای را بیش از سه برابر نمی‌کند. آن را بنویس.

نوشتهٔ تو

17 ورودی متفاوت، خروجی متفاوت

عضوهای متفاوت A همیشه به عضوهای متفاوت B می‌روند. آن را بنویس.

نوشتهٔ تو

18 یک قاعده و جمله‌های اولش

قاعده n را به ۲ برابرش می‌برد؛ جمله‌های اول ۲ و ۴ و ۶ و همین‌طور ادامه‌اند. قاعده و جمله‌ها را بنویس.

نوشتهٔ تو

19 امضا و قاعده

h عددهای طبیعی را به عددهای طبیعی می‌برد و n را به n² می‌فرستد. امضا و قاعده را در یک خط بنویس.

نوشتهٔ تو

20 یک مورد حکم را می‌شکند

حکم می‌گوید: برای هر x حقیقی، x² دست‌کم x است. مورد x برابر نیم را در نماد بنویس و نشان بده که حکم می‌شکند.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

قطعه‌ای دو‌خطی را که نمی‌فهمی بردار و پنج گام را روی آن برو. نسخهٔ یک‌جمله‌ای و یک مورد عددی را بنویس.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

چگونه یک قطعهٔ فشرده را بخوانیم

الفبا

داستان: پنج گام روی یک تابع

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 یک تابع در یک جدول

2 یک مورد را با عدد بیازمای

3 بزرگ‌تر از، در یک دنیای کوچک

4 نقش‌ها در یک قطعه

5 نقطه‌چین‌ها چه چیزی را پنهان می‌کنند

6 پنج پیکان

7 یک امضا

8 شریکِ چه کسی؟

9 یک کران، نه کف

10 یک قاعده، نه یک نتیجه

11 دو بار جای‌گذاری کن

12 الگو را نام بگذار

13 کجا می‌شکند؟

14 کوچک‌ترین سقف

15 کجا زندگی می‌کند؟

16 همان یک جمله، در نماد

17 ورودی متفاوت، خروجی متفاوت

18 یک قاعده و جمله‌های اولش

19 امضا و قاعده

20 یک مورد حکم را می‌شکند

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت