ریاضی را حرف بزن · دانشگاه

احتمال: چقدر محتمل، و به شرط چه

احتمال عددی از ۰ تا ۱ است. هفت علامت می‌گویند چیزی چقدر محتمل است، با دانستن اطلاعات بیشتر چطور عوض می‌شود، و به‌طور میانگین چه انتظاری باید داشت.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$P (A)$ بخوان: احتمال Aیعنی: شانس رخ دادن A، از ۰ (هرگز) تا ۱ (حتماً)
$P (A \cap B)$ بخوان: احتمال A و B با هم (احتمال اشتراک A و B)یعنی: شانس اینکه هم A رخ دهد هم B
$P (A ∣ B)$ بخوان: احتمال A به شرط Bیعنی: شانس A، وقتی می‌دانیم B رخ داده است
$A ⊥ B ⟺ P (A \cap B) = P (A) P (B)$ بخوان: A و B مستقل‌اند؛ یعنی احتمال اشتراک A و B برابر است با احتمال A ضرب در احتمال Bیعنی: دانستن B دربارهٔ A چیزی به ما نمی‌گوید
$E [X]$ بخوان: امید ریاضی Xیعنی: میانگین مقدار X در تکرارهای بسیار زیاد
$Var (X)$ بخوان: واریانس Xیعنی: میانگین مربع فاصلهٔ X از میانگینش: چقدر پراکنده است
$X \sim N (μ, σ^{۲})$ بخوان: X دارای توزیع نرمال با میانگین میو و واریانس سیگما دو استیعنی: X از منحنی زنگی با مرکز میو و پراکندگی سیگما پیروی می‌کند

داستان: باران و چتر

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$P (R) = \frac{۳۰}{۱۰۰} = ۰٫۳$ در ۱۰۰ روز، ۳۰ روز باران آمده است. احتمال بارانی بودن یک روز ۰٫۳ است.
$P (U) = \frac{۴۰}{۱۰۰} = ۰٫۴$ در ۴۰ روز از این روزها چتر همراه بوده است.
$P (R \cap U) = ۰٫۲۷$ در ۲۷ روز هم باران آمده و هم چتر همراه بوده است.
$P (U ∣ R) = \frac{۰٫۲۷}{۰٫۳} = ۰٫۹$ از ۳۰ روز بارانی، در ۲۷ روز چتر همراه بوده: به شرط باران، احتمال داشتن چتر ۰٫۹ است.
$P (R ∣ U) = \frac{۰٫۲۷}{۰٫۴} = ۰٫۶۷۵$ از ۴۰ روزی که چتر همراه بوده، در ۲۷ روز باران آمده: به شرط چتر، احتمال باران ۰٫۶۷۵ است.
$E [X] = ۷ \times ۰٫۳ = ۲٫۱$ در یک هفته، X را تعداد روزهای بارانی بگیر. به‌طور میانگین ۲٫۱ روز باران می‌آید.
$Var (X) = ۷ \times ۰٫۳ \times ۰٫۷ = ۱٫۴۷$ اگر هوای هر روز از روزهای دیگر مستقل باشد، پراکندگی X، یعنی واریانس آن، ۱٫۴۷ است.
$T \sim N (۱۲, ۴)$ راه رسیدن به ایستگاه اتوبوس T دقیقه طول می‌کشد: حول ۱۲ دقیقه، با واریانس ۴.
$P (۸ < T < ۱۶) \approx ۰٫۹۵$ یعنی انحراف معیار ۲ است؛ پس از هر ۱۰۰ بار، تقریباً ۹۵ بار بین ۸ تا ۱۶ دقیقه طول می‌کشد.
$P (R) P (U) = ۰٫۱۲ \neq = ۰٫۲۷ = P (R \cap U)$ ۰٫۳ ضرب در ۰٫۴ می‌شود ۰٫۱۲، نه ۰٫۲۷. باران و چتر مستقل نیستند: دیدن یکی سرنخی دربارهٔ دیگری است.

این داستان با کلمه‌ها ۷۵۶ حرف است؛ با نمادها ۱۶۴.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$P (A ∣ B) = ۰٫۸$

$E [X] = ۳$

$X \sim N (۰, ۱)$

$A ⊥ B$

$P (A) = ۰$

$P (A \cap B) = ۰٫۱$

$P (B ∣ A) = ۱$

$Var (X) = ۰$

$E [X] = ۲٫۵$

$X \sim N (۷۰, ۲۵)$

$P (A \cap B) = P (A) P (B)$

$P (A ∣ B) = P (A)$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

شانس A، وقتی می‌دانیم B رخ داده است.

واریانس X میانگین مربع فاصله از میانگین است.

X یک مقدار تصادفی با منحنی زنگی، با میانگین μ و واریانس σ² است.

شانس اینکه هم A رخ دهد هم B.

شانس B وقتی می‌دانی A رخ داده است.

میانگین X در تکرارهای بسیار زیاد ۴ است.

A و B مستقل‌اند.

X از منحنی زنگی با مرکز ۵۰ و انحراف معیار ۱۰ پیروی می‌کند.

شانس A به شرط B برابر است با شانس هر دو، تقسیم بر شانس B.

شانس اینکه فردا باران بیاید، R، برابر ۰٫۳ است.

واریانس X برابر ۹ است.

واریانس X برابر است با میانگینِ مربع‌ها منهای مربعِ میانگین.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

احتمال A و B با هم برابر است با احتمال A ضرب در احتمال B.

احتمال R به شرط U برابر است با احتمال R و U با هم، تقسیم بر احتمال U.

احتمال A به شرط B برابر ۰٫۹ است.

X دارای توزیع نرمال با میانگین ۱۲ و واریانس ۴ است.

امید ریاضی X برابر است با مجموع روی k از k ضرب در احتمال اینکه X برابر k باشد.

واریانس X برابر است با امید ریاضیِ مربعِ X منهای میو.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 یک تاس، سه پیشامد

یک تاس درست انداخته می‌شود؛ شانس هر وجه ۱/۶ است. تیک نشان می‌دهد کدام وجه‌ها به هر پیشامد A و B و C تعلق دارند. هر جمله را داوری کن.

	$A$	$B$	$C$
$۱$		✓
$۲$	✓	✓
$۳$		✓
$۴$	✓	✓	✓
$۵$			✓
$۶$	✓		✓

تیک یعنی وجهِ سطر عضو پیشامدِ ستون است.

$P (A) = \frac{۱}{۲}$
$A ⊥ B$
$A ⊥ C$
$P (B ∣ A) = \frac{۲}{۳}$
$P (A ∣ B) = P (B ∣ A)$
$P (A \cap C) = \frac{۱}{۳}$

2 به شرط، با هم، میانگین

هر خط را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 پراکندگی از میانگین‌ها

این باید بگوید: واریانس برابر است با میانگینِ مربع‌ها منهای مربعِ میانگین. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 محدود کردن حالت‌ها

این باید بگوید: شانس A به شرط B برابر است با شانس هر دو، تقسیم بر شانسِ چیزی که الان می‌دانیم. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

5 تاس درست

میانگین یک بار انداختن تاس درست چقدر است؟

$E [X] = ۱ \cdot \frac{۱}{۶} + ۲ \cdot \frac{۱}{۶} + \dots + ۶ \cdot \frac{۱}{۶}$

6 دو شانس مستقل

دو پیشامد مستقل داریم. شانس این‌که هر دو رخ دهند چقدر است؟

$P (A) = ۰٫۵, P (B) = ۰٫۴, A ⊥ B ∴ P (A \cap B) = ?$

7 خواندن منحنی زنگی

X از منحنی زنگی با مرکز ۱۰ پیروی می‌کند و عدد دوم در N(·, ·) واریانس است. واریانس X چقدر است؟

$X \sim N (۱۰, ۹) ∴ Var (X) = ?$

8 آزمایش و بیماری

S: شخص بیمار است. T: آزمایش مثبت است. نتیجهٔ مثبت برای بیماران بسیار بیشتر پیش می‌آید تا بیمار بودن میان همهٔ مثبت‌ها. بنویس که «بیمار بودن به شرط مثبت بودن» با «مثبت بودن به شرط بیمار بودن» فرق دارد، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

9 شش روز، باران و چتر

شش روز؛ یک روز به تصادف انتخاب می‌شود. R: باران آمد. U: چتر همراه بود. C: هوا سرد بود. هر جمله را داوری کن.

	$R$	$U$	$C$
$d_{۱}$	✓	✓	✓
$d_{۲}$	✓	✓
$d_{۳}$	✓	✓
$d_{۴}$		✓	✓
$d_{۵}$
$d_{۶}$

تیک یعنی پیشامدِ ستون در روزِ سطر رخ داده است. شانس هر روز ۱/۶ است.

$P (U ∣ R) = ۱$
$P (R ∣ U) = ۱$
$P (R ∣ U) = \frac{۳}{۴}$
$R ⊥ C$
$U ⊥ C$
$P (R \cap U) = P (R) P (U)$

10 دو سکه

یک سکهٔ سالم دو بار انداخته می‌شود؛ چهار نتیجه هم‌شانس‌اند. A: پرتاب اول رو است. B: دست‌کم یک پشت. C: دو پرتاب یکی‌اند. هر جمله را داوری کن.

	$A$	$B$	$C$
$H H$	✓		✓
$H T$	✓	✓
$T H$		✓
$T T$		✓	✓

تیک یعنی نتیجهٔ سطر عضو پیشامدِ ستون است. H رو و T پشت است؛ شانس هر نتیجه ۱/۴ است.

$P (B) = \frac{۳}{۴}$
$A ⊥ C$
$P (A ∣ B) = \frac{۱}{۳}$
$P (B ∣ A) = \frac{۱}{۳}$
$A ⊥ B$
$P (A \cap C) = \frac{۱}{۴}$

11 پنج عدد دربارهٔ X

پنج چیز که می‌شود دربارهٔ یک X تصادفی گفت. هر کدام را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

12 عدد دوم در منحنی زنگی

این باید بگوید: X از منحنی زنگی با میانگین μ و واریانس σ² پیروی می‌کند. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

13 مستقل یعنی ضرب

این باید استقلال را تعریف کند: شانس هر دو، حاصل‌ضرب شانس‌هاست. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

14 دو تاس

دو تاس سالم انداخته می‌شوند و عددهایشان جمع می‌شود. میانگین مجموع چقدر است؟

$E [X_{۱}] = E [X_{۲}] = ۳٫۵, E [X_{۱} + X_{۲}] = ?$

15 یک سکه

X برای رو ۱ و برای پشت ۰ است. X چقدر پراکنده است؟

$P (X = ۱) = P (X = ۰) = \frac{۱}{۲}, Var (X) = ?$

16 از «هر دو» به «به شرط»

نیمی از روزها بادی است (A)؛ در یک‌پنجم همهٔ روزها هم بادی است و هم بادبادک پرواز می‌کند (B). به شرط باد، شانس پرواز بادبادک چقدر است؟

$P (A) = ۰٫۵, P (A \cap B) = ۰٫۲, P (B ∣ A) = ?$

17 در فاصلهٔ یک سیگما

نمره‌ها از منحنی زنگی با مرکز ۱۰۰ و واریانس ۲۲۵ پیروی می‌کنند. تقریباً چه سهمی از نمره‌ها بین ۸۵ و ۱۱۵ است؟

$X \sim N (۱۰۰, ۲۲۵), P (۸۵ < X < ۱۱۵) \approx ?$

18 ابرِ صبحگاهی

R: امروز باران می‌آید. C: صبح ابری است. بنویس که صبحِ ابری باران را از معمول محتمل‌تر می‌کند، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

19 سکه حافظه ندارد

H₁: پرتاب اول رو است. H₂: پرتاب دوم رو است. بنویس که دو پرتاب روی هم اثر ندارند، و شانس دو رو چقدر است، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان دوخطی با علامت‌ها بنویس دربارهٔ شانسی که با دانستن چیزی عوض می‌شود: یک اتوبوس، یک مسابقه، یک کیسه آب‌نبات. از P و «به شرط» استفاده کن.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

احتمال: چقدر محتمل، و به شرط چه

الفبا

داستان: باران و چتر

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 یک تاس، سه پیشامد

2 به شرط، با هم، میانگین

3 پراکندگی از میانگین‌ها

4 محدود کردن حالت‌ها

5 تاس درست

6 دو شانس مستقل

7 خواندن منحنی زنگی

8 آزمایش و بیماری

9 شش روز، باران و چتر

10 دو سکه

11 پنج عدد دربارهٔ X

12 عدد دوم در منحنی زنگی

13 مستقل یعنی ضرب

14 دو تاس

15 یک سکه

16 از «هر دو» به «به شرط»

17 در فاصلهٔ یک سیگما

18 ابرِ صبحگاهی

19 سکه حافظه ندارد

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت