ریاضی را حرف بزن · دانشگاه

ماتریس‌ها: دستور پخت برای چند کیک

ماتریس جدولی از عددهاست که یک دستور کامل را در خود دارد. چند علامت می‌گویند چطور آن را بخوانیم، برگردانیم و ببینیم چه چیزی را فقط کش می‌دهد.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$A = (a_{۱۱} a_{۲۱} a_{۱۲} a_{۲۲})$ بخوان: ماتریس A با درایه‌های a یک‌یک، a یک‌دو، a دو‌یک و a دو‌دویعنی: جدولی مستطیلی از عددها که میان پرانتز نوشته می‌شود
$a_{ij}$ بخوان: a آی جییعنی: درایهٔ ردیف i و ستون j: اول ردیف، بعد ستون
$A^{T}$ بخوان: ترانهادهٔ Aیعنی: A با جابه‌جایی ردیف‌ها و ستون‌ها
$A^{- ۱}$ بخوان: وارون Aیعنی: ماتریسی که کار A را برمی‌گرداند؛ «یک تقسیم بر A» نیست
$det A$ بخوان: دترمینان Aیعنی: یک عدد که می‌گوید A مساحت را چند برابر می‌کند؛ اگر صفر باشد، A برگشت‌پذیر نیست
$I$ بخوان: ماتریس همانی Iیعنی: ماتریسی که چیزی را عوض نمی‌کند: روی قطر ۱ و بقیه ۰
$A x = b$ بخوان: A ضرب در x مساوی bیعنی: یک دستگاه معادله در یک خط: A کدام x را به b تبدیل می‌کند؟
$A v = λ v$ بخوان: A ضرب در v مساوی لاندا ضرب در vیعنی: A فقط v را به اندازهٔ عدد لاندا، که مقدار ویژه است، می‌کشد و نمی‌چرخاند

داستان: دستور پخت برای چند کیک

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$A = (۲ ۱ ۲ ۳)$ جدول دو کیک: ردیف اول پیمانهٔ آرد است و ردیف دوم تخم‌مرغ. ستون اول کیک ساده و ستون دوم کیک شکلاتی است.
$a_{۲۲} = ۳$ درایهٔ ردیف دوم و ستون دوم ۳ است: یک کیک شکلاتی ۳ تخم‌مرغ می‌خواهد.
$x = (۴ ۲)$ امروز شیرینی‌پز ۴ کیک ساده و ۲ کیک شکلاتی می‌پزد.
$A x = (۱۲ ۱۰)$ جدول ضرب در تعداد کیک‌ها فهرست خرید را می‌دهد: ۱۲ پیمانه آرد و ۱۰ تخم‌مرغ.
$A^{T} = (۲ ۲ ۱ ۳)$ برگهٔ سفارش فروشگاه همین عددها را با ردیف و ستونِ جابه‌جاشده می‌نویسد، تا کیک‌ها در امتداد صفحه بیایند.
$A x = b = (۱۶ ۱۴)$ فردا انبار ۱۶ پیمانه آرد و ۱۴ تخم‌مرغ دارد و همه باید مصرف شود. از هر کیک چند تا؟
$det A = ۴ \neq = ۰$ دترمینان ۴ است و صفر نیست، پس برای هر موجودی انبار دقیقاً یک جواب هست.
$A^{- ۱} = (۰٫۷۵ - ۰٫۲۵ - ۰٫۵ ۰٫۵), A^{- ۱} A = I$ وارون کار دستور را برمی‌گرداند؛ اول دستور و بعد وارون، چیزی را عوض نمی‌کند: ماتریس همانی.
$x = A^{- ۱} b = (۵ ۳)$ وارون روی موجودی انبار ۵ کیک ساده و ۳ کیک شکلاتی را می‌دهد. بررسی: آرد ۱۰ + ۶ = ۱۶، تخم‌مرغ ۵ + ۹ = ۱۴.
$A v = ۴ v, v = (۱ ۱)$ از هر کیک یکی: ۴ پیمانه آرد و ۴ تخم‌مرغ مصرف می‌شود؛ همان شکلِ دسته، فقط ۴ برابر بزرگ‌تر.

این داستان با کلمه‌ها ۸۳۶ حرف است؛ با نمادها ۲۳۳.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$a_{۳۲}$

$A^{- ۱} A = I$

$det A = ۰$

$A v = λ v$

$det A = - ۲$

$A I = I A = A$

$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$

$det A \neq = ۰$

$a_{ij} = ۰ (i \neq = j)$

$A v = ۲ v$

$A^{- ۱} b$

$A = A^{T}$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

درایهٔ ردیف i و ستون j از A.

مجهول x همان چیزی است که از برگرداندنِ A روی b به دست می‌آید.

A با جابه‌جایی ردیف‌ها و ستون‌ها.

دترمینان A صفر نیست.

A ضرب در وارونش ماتریس همانی است.

درایهٔ سطر ۳ و ستون ۱.

A فقط v را پنج برابر می‌کشد، بی‌آن‌که بچرخاندش.

ماتریس همانی ۲ در ۲.

ترانهادهٔ ماتریسی با سطرهای (۱, ۲) و (۳, ۴).

دو معادله در یک خط: ۲x₁ + x₂ = ۵ و x₁ − x₂ = ۱.

دترمینان ماتریس ۲ در ۲ با سطرهای (a, b) و (c, d).

دو بار انجام دادن A چیزی را عوض نمی‌کند: A وارون خودش است.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

A ضرب در x مساوی b.

A ضرب در v مساوی لاندا ضرب در v.

وارون A ضرب در A مساوی ماتریس همانی است.

دترمینان A مخالف صفر است.

ترانهادهٔ ترانهادهٔ A همان A است.

درایهٔ سطر دو و ستون یک برابر ۵ است.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 جدول تیک‌ها

سطرها و ستون‌های یک جدول ۳×۳ از ۰ و ۱ را می‌بینی؛ تیک یعنی ۱. هر جمله را دربارهٔ این ماتریس A داوری کن.

	$c_{۱}$	$c_{۲}$	$c_{۳}$
$r_{۱}$	✓	✓
$r_{۲}$		✓	✓
$r_{۳}$			✓

تیک یعنی درایه ۱ است و خانهٔ خالی یعنی ۰. سطر i و ستون j همان a_{ij} است.

$a_{۱۲} = ۱$
$a_{۲۱} = ۱$
$A^{T} = A$
$det A = ۱$
$A = I$
$a_{۲۳} = ۱ \land a_{۳۲} = ۰$

2 برچسب‌های ماتریسی

هر خط را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 مساحت‌ها ضرب می‌شوند

این باید بگوید: AB مساحت را به اندازهٔ ضرب کشیدگیِ B و کشیدگیِ A تغییر می‌دهد. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 ضریب مقیاس

دترمینان را حساب کن: این ماتریس مساحت‌ها را چند برابر می‌کند؟

$det (۳ ۱ ۲ ۲) = ?$

5 فقط کشیده شد

این ماتریس بردار (۰, ۱) را به نسخهٔ بلندتری از خودش می‌برد. با چه ضریبی؟

$(۲ ۰ ۰ ۳) (۰ ۱) = λ (۰ ۱)$

6 دستور را برگردان

این ماتریس کدام x را به (۵, ۲) تبدیل می‌کند؟

$(۱ ۰ ۲ ۱) x = (۵ ۲)$

7 چه وقت می‌شود برگرداند؟

یک ماتریس دقیقاً وقتی وارونه‌پذیر است که دترمینانش صفر نباشد. با نماد بنویس، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

8 ماتریس آینه‌ای

ماتریس متقارن ماتریسی است که با عوض کردن سطرها و ستون‌ها تغییری نمی‌کند. یک بار با A^T و یک بار با درایه‌های a_{ij} بنویس، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

9 تقریباً همانی

جدولی ۳×۳ از ۰ و ۱، فقط یک تیک دورتر از ماتریس همانی. هر جمله را دربارهٔ این ماتریس A داوری کن.

	$c_{۱}$	$c_{۲}$	$c_{۳}$
$r_{۱}$	✓		✓
$r_{۲}$		✓
$r_{۳}$			✓

تیک یعنی درایه ۱ است و خانهٔ خالی یعنی ۰. سطر i و ستون j همان a_{ij} است. جملهٔ آخر A را در بردار (۰, ۰, ۱) ضرب می‌کند.

$a_{۱۳} = ۱$
$a_{۳۱} = ۱$
$det A = ۱$
$A = I$
$A^{T} = A$
$A ۰ ۰ ۱ = ۱ ۰ ۱$

10 فقط کشیده، هرگز چرخیده

سه ماتریس و چهار بردار. تیک می‌گوید ماتریس آن بردار را فقط می‌کشد (شاید با ضریب منفی) و نمی‌چرخاند. هر جمله را داوری کن.

	$A = (۲ ۰ ۰ ۲)$	$B = (۰ ۱ ۱ ۰)$	$C = (۳ ۰ ۰ ۱)$
$v_{۱} = (۱, ۰)$	✓		✓
$v_{۲} = (۰, ۱)$	✓		✓
$v_{۳} = (۱, ۱)$	✓	✓
$v_{۴} = (۱, - ۱)$	✓	✓

تیک یعنی بردار سطر، بردار ویژهٔ ماتریس ستون است: ماتریس آن را به λ برابر خودش می‌برد، برای عددی λ.

$B v_{۴} = - v_{۴}$
$C v_{۱} = ۳ v_{۱}$
$\exists λ : B v_{۱} = λ v_{۱}$
$\forall v : A v = ۲ v$
$\exists λ : C v_{۳} = λ v_{۳}$
$det B = - ۱$

11 یک جدول، پنج پرسش

از همان جدول با سطرهای (۱, ۲) و (۳, ۴) پنج چیز متفاوت پرسیده می‌شود. هر خط را به مقدارش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

12 برگرداندن یک جدول ۲×۲

برای A با سطرهای (a, b) و (c, d)، این باید وارون باشد: یک بر دترمینان ضرب در جدولی بازچیده‌شده. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

13 فهرست خرید

سطر اول پیمانهٔ آرد است و سطر دوم تخم‌مرغ؛ ستون‌ها دو نوع نان‌اند. امروز: ۳ نان از نوع اول و ۲ نان از نوع دوم. در فهرست خرید چه می‌آید؟

$(۲ ۱ ۱ ۳) (۳ ۲) = ?$

14 تخت‌شده

دترمینان را حساب کن. جواب دربارهٔ برگرداندن این ماتریس چه می‌گوید؟

$det (۲ ۳ ۴ ۶) = ?$

15 همان جهت

این ماتریس (۱, ۱) را به نسخهٔ بلندتری از خودش می‌برد. با چه ضریبی؟

$(۱ ۲ ۲ ۱) (۱ ۱) = λ (۱ ۱)$

16 یک قدم به عقب

A درایهٔ دوم را به درایهٔ اول می‌افزاید. کدام ماتریس آن را برمی‌گرداند؟

$A = (۱ ۰ ۱ ۱), A^{- ۱} = ?$

17 ماتریسی که هیچ کاری نمی‌کند

ماتریس همانی هیچ مساحتی را عوض نمی‌کند و وارون خودش است. این را با نماد بنویس، بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان دوخطی از مخلوط‌کردن چیزها به مقدارهای مختلف بنویس، رنگ، چای یا دانه، با یک جدول، یک بردار مقدارها و آنچه بیرون می‌آید، فقط با نمادها.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

ماتریس‌ها: دستور پخت برای چند کیک

الفبا

داستان: دستور پخت برای چند کیک

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 جدول تیک‌ها

2 برچسب‌های ماتریسی

3 مساحت‌ها ضرب می‌شوند

4 ضریب مقیاس

5 فقط کشیده شد

6 دستور را برگردان

7 چه وقت می‌شود برگرداند؟

8 ماتریس آینه‌ای

9 تقریباً همانی

10 فقط کشیده، هرگز چرخیده

11 یک جدول، پنج پرسش

12 برگرداندن یک جدول ۲×۲

13 فهرست خرید

14 تخت‌شده

15 همان جهت

16 یک قدم به عقب

17 ماتریسی که هیچ کاری نمی‌کند

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت