ریاضی را حرف بزن · سال‌های آخر مدرسه

تابع: ماشینی با ورودی و خروجی

تابع مثل یک ماشین است: عددی می‌دهیم و عددی می‌گیریم. شش علامت آن را توصیف می‌کنند، اینکه ماشین‌ها چطور به هم وصل می‌شوند و چطور یکی را برعکس اجرا می‌کنیم.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$f (x)$ بخوان: f از xیعنی: خروجی ماشین f وقتی x وارد شود؛ نه f ضرب در x
$f : A \to B$ بخوان: تابع f از A به Bیعنی: f هر ورودی مجاز در A را به یک خروجی در B می‌برد
$x \mapsto ۲ x$ بخوان: x می‌رود به ۲xیعنی: ضابطه: ورودی x تبدیل می‌شود به خروجی ۲x
$g \circ f$ بخوان: g ترکیب f (می‌خوانند «جی اُ اف»)یعنی: اول f، بعد g روی حاصل؛ ترکیب دو تابع
$(g \circ f) (x) = g (f (x))$ بخوان: g ترکیب f در x برابر است با g از f از xیعنی: x را به f می‌دهیم، بعد خروجی را به g می‌دهیم
$f^{- ۱}$ بخوان: وارون fیعنی: همان ماشین که برعکس کار می‌کند؛ این منفی یک توان نیست و یعنی یک تقسیم بر f نیست

داستان: ماشین نان‌برشته‌کن

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$f : A \to B$ توستر یک تابع f است: A دقیقه‌های مجاز و B درجه‌های برشتگی ممکن است.
$x \mapsto ۲ x$ ضابطه‌اش: x دقیقه به درجهٔ برشتگی ۲x می‌رود.
$f (x) = ۲ x$ ضابطه را نام می‌گذاریم: اف ایکس مساوی است با ۲x.
$f (۳) = ۶ f (۵) = ۱۰$ سه دقیقه درجهٔ ۶ می‌دهد و پنج دقیقه درجهٔ ۱۰.
$g (y) = y + ۱$ ماشین دوم، g، برای هر درجه یک قاشق مربا اضافه می‌کند: g از y می‌شود y به‌اضافهٔ ۱.
$(g \circ f) (۳) = g (f (۳)) = ۷$ اول برشته کردن، بعد مربا، برای ۳ دقیقه: g دایره f در ۳ یعنی g از ۶ که می‌شود ۷.
$f^{- ۱} (۱۰) = ۵$ توستر را برعکس اجرا کن: نان با درجهٔ ۱۰ وارون f در ۱۰ را لازم داشت، یعنی ۵ دقیقه.
$f^{- ۱} (۶) = ۳$ همین‌طور وارون f در ۶ می‌شود ۳ دقیقه.
$\frac{۱}{f ( ۶ )} = \frac{۱}{۱۲}$ مراقب باش: یک تقسیم بر f از ۶ می‌شود یک‌دوازدهم، نه ۳. این‌جا منفی یک یعنی تابع وارون، نه معکوس عدد.

این داستان با کلمه‌ها ۵۹۱ حرف است؛ با نمادها ۸۴.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$f (۳)$

$f^{- ۱} (x)$

$g \circ f$

$f : A \to B$

$f (۰) = ۵$

$x \mapsto x^{۲}$

$(f \circ g) (x)$

$h : R \to R$

$f^{- ۱} (۸) = ۲$

$g (f (۱))$

$f (x) = x + ۴$

$f (۲) + f (۳)$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

ماشین f هر x را به سه برابر x می‌برد.

اول ۲ را به f بده، بعد حاصل را به g بده.

تابع وارون f در ۴.

ماشین f هر ورودی را نصف می‌کند.

g عددهای طبیعی را به عددهای طبیعی می‌برد.

خروجی f وقتی ۷ وارد شود.

هر ورودی x به x منهای یک می‌رود.

اول f، بعد h: h ترکیب f.

ورودی‌ای که f آن را به ۲۰ می‌برد.

اول ۵ را به g بده، بعد حاصل را به f بده.

ماشین f ورودی‌اش را سه برابر می‌کند: f از x برابر سه x است.

g ترکیب f در ۲ برابر است با g از f از ۲.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

اف از ۳ مساوی است با ۶.

g دایره f، روی x.

x می‌رود به x به‌اضافهٔ یک.

تابع f از A به B.

وارون f در ده مساوی است با پنج.

g از f از دو.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 جدول توستر

توستر f دقیقه‌ها (سطرها) را به سطح برشتگی (ستون‌ها) تبدیل می‌کند. دربارهٔ هر جمله داوری کن: درست یا نادرست؟

	$a$	$b$
$۱$	✓
$۲$		✓
$۳$		✓

تیک یعنی f ورودیِ سطر را به خروجیِ ستون می‌برد.

$f (۱) = a$
$f (۲) = f (۳)$
$f (۳) = c$
$۱ \mapsto b$
$۳ \mapsto b$
$f : {۱, ۲, ۳} \to {a, b, c, d}$

2 همان حرف‌ها، ماشین‌هایی دیگر

هر سطر را به آنچه می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 کدام ماشین اول؟

با f(x) = ۲x و g(y) = y + ۱، اول برشته کن و بعد مربا بزن، برای ۳ دقیقه. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 ماشین را برعکس بچرخان

ماشین وارون برای ۷ چه می‌دهد؟

$f (x) = ۳ x - ۲ f^{- ۱} (۷) = ?$

5 دو ماشین پشت سر هم

۳ را در f بگذار و حاصل را در g بگذار. چه بیرون می‌آید؟

$f (x) = x + ۱ g (x) = ۲ x (g \circ f) (۳) = ?$

6 ماشین جذر

این ماشین فقط ۱ و ۴ و ۹ را می‌پذیرد. برای ۹ چه بیرون می‌دهد؟

$f : {۱, ۴, ۹} \to N, x \mapsto x f (۹) = ?$

7 ماشینی طراحی کن

ماشینی هر ورودی را دو برابر می‌کند و بعد یکی به آن اضافه می‌کند. قاعدهٔ آن را با نماد بنویس و نام ماشین را f بگذار.

نوشتهٔ تو

8 جوراب و کفش

گام s جوراب پوشیدن و گام h کفش پوشیدن است. «اول جوراب، بعد کفش» می‌شود h ∘ s. قاعدهٔ برگرداندن هر دو را بنویس: وارونِ «جوراب بعد کفش» برابر است با «اول کفش را در بیاور، بعد جوراب را».

نوشتهٔ تو

9 ماشین چهارتا اضافه

ماشین f هر ورودی (سطرها) را به یک خروجی (ستون‌ها) تبدیل می‌کند. دربارهٔ هر جمله داوری کن: درست یا نادرست؟

	$۵$	$۶$	$۷$	$۸$
$۱$	✓
$۲$		✓
$۳$			✓
$۴$				✓

تیک یعنی f ورودیِ سطر را به خروجیِ ستون می‌برد.

$x \mapsto x + ۴$
$f (۳) = ۷$
$f^{- ۱} (۶) = ۲$
$f^{- ۱} (۶) = \frac{۱}{۶}$
$f (۱) = f (۲)$
$f : {۱, ۲, ۳, ۴} \to {۵, ۶, ۷, ۸}$

10 ماشین دوبرابرکن

ماشین f دو برابر می‌کند. دربارهٔ هر جمله داوری کن: درست یا نادرست؟

	$۲$	$۴$	$۶$	$۸$
$۱$	✓
$۲$		✓
$۳$			✓
$۴$				✓

تیک یعنی f ورودیِ سطر را به خروجیِ ستون می‌برد.

$f (۲) = ۴$
$۳ \mapsto ۶$
$f^{- ۱} (۸) = ۴$
$f^{- ۱} (۲) = ۴$
$(f \circ f) (۱) = ۴$
$f (۱) + f (۲) = f (۴)$

11 زنجیره یا جمع؟

هر سطر را به آنچه با x می‌کند وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

12 دو پیکان و یک دونقطه

هر سطر را به آنچه دربارهٔ ماشین دوبرابرکن می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

13 نصف کردن را برگردان

ماشین f ورودی‌اش را نصف می‌کند، پس وارونش باید دو برابر کند. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

14 پیکان اشتباه

f عددهای طبیعی را به عددهای طبیعی می‌برد و هر x به x به‌اضافهٔ ۳ می‌رود. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

15 کدام ورودی؟

f کدام ورودی را به ۴ تبدیل می‌کند؟

$f (x) = \frac{x}{۲} + ۱ f^{- ۱} (۴) = ?$

16 یکی کم کن، بعد به توان دو

این‌جا کدام اول اجرا می‌شود، f یا g؟ بعد حساب کن.

$f (x) = x^{۲} g (x) = x - ۱ (f \circ g) (۴) = ?$

17 ماشین حصار

ماشین p ضلع s یک باغچهٔ مربع‌شکل را می‌گیرد و طول حصار دورش را می‌دهد: چهار ضلع. ضابطه‌اش را بنویس.

نوشتهٔ تو

18 پوست بگیر، بعد خرد کن

گام p سیب را پوست می‌گیرد و گام s آن را خرد می‌کند. «اول پوست گرفتن، بعد خرد کردن» را به‌صورت یک گام ترکیبی بنویس.

نوشتهٔ تو

19 هفت جلو، هفت عقب

ماشین f به هر ورودی ۷ اضافه می‌کند. f و وارونش را بنویس.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان سه‌خطی دربارهٔ ماشین خودت (یک ضابطه، یک ورودی، یک خروجی) بنویس، فقط با علامت‌ها. بعد آن را برعکس اجرا کن.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

تابع: ماشینی با ورودی و خروجی

الفبا

داستان: ماشین نان‌برشته‌کن

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 جدول توستر

2 همان حرف‌ها، ماشین‌هایی دیگر

3 کدام ماشین اول؟

4 ماشین را برعکس بچرخان

5 دو ماشین پشت سر هم

6 ماشین جذر

7 ماشینی طراحی کن

8 جوراب و کفش

9 ماشین چهارتا اضافه

10 ماشین دوبرابرکن

11 زنجیره یا جمع؟

12 دو پیکان و یک دونقطه

13 نصف کردن را برگردان

14 پیکان اشتباه

15 کدام ورودی؟

16 یکی کم کن، بعد به توان دو

17 ماشین حصار

18 پوست بگیر، بعد خرد کن

19 هفت جلو، هفت عقب

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت