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Ángulos, intersecciones y distancias en el espacio

Halla el ángulo entre una recta y un plano, el punto donde una recta corta a un plano, la distancia de un punto a un plano y el ángulo entre dos planos, con productos escalares y ecuaciones.

📖 Empieza aquí: lee los pasos de la «Lección» por orden (1, 2, 3 …) y responde a cada pregunta. Después sigue con «Práctica».

Guía

La geometría analítica en el espacio (vectores, producto escalar, vectores normales, ecuaciones de planos) se estudia en 2.º de Bachillerato (Matemáticas II). El ángulo θ entre una recta (de vector director d⃗) y un plano (de vector normal n⃗) se calcula con su seno: senθ es el valor absoluto del producto escalar d⃗·n⃗ dividido entre el producto de los dos módulos. El ángulo entre dos planos es el ángulo agudo entre sus vectores normales.

Para hallar el punto donde la recta de ecuación vectorial M = A + td⃗ corta a un plano, se sustituyen las coordenadas de un punto de la recta en la ecuación del plano y se despeja t. La distancia de un punto P al plano de ecuación ax + by + cz = d es el valor absoluto de (el primer miembro en P menos d) dividido entre el módulo del vector normal.

Errores frecuentes: usar el coseno en lugar del seno para el ángulo con un plano, olvidarse de dividir, y tomar el ángulo obtuso en lugar del agudo entre dos planos.