Ceva, Menelao, Ptolomeo y la recta de Euler
Lecturas opcionales de Geometría: cuándo tres cevianas se cortan en un punto, cuándo tres puntos están alineados, el producto de las diagonales de un cuadrilátero inscrito y la recta de Euler.
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- Rusia: 9.º curso
- Ucrania: 8.º curso
Guía
Estos teoremas son una ampliación: no forman parte del currículo habitual de la ESO y se ven, como mucho, como lectura opcional. Los segmentos AA₁, BB₁, CC₁ que unen los vértices del triángulo ABC con puntos A₁, B₁, C₁ de los lados opuestos se llaman cevianas.
Teorema de Ceva. Las cevianas AA₁, BB₁, CC₁ se cortan en un punto si y solo si (AC₁ : C₁B) · (BA₁ : A₁C) · (CB₁ : B₁A) = 1. Teorema de Menelao: los puntos A₁, B₁, C₁, dos en los lados y uno en la prolongación de un lado, están alineados si y solo si se cumple la misma igualdad.
Teorema de Ptolomeo. En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos: AB · DC + BC · AD = BD · AC.
La recta de Euler. En todo triángulo, el circuncentro O, el baricentro M y el ortocentro H están en una misma recta, y HM = 2MO.