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Homotecias en el plano cartesiano

Calcula las imágenes de puntos y de rectas por una homotecia con la regla de los vectores, descubre la razón k y halla el baricentro de un triángulo.

📖 Empieza aquí: lee los pasos de la «Lección» por orden (1, 2, 3 …) y responde a cada pregunta. Después sigue con «Práctica».

Guía

Este tema no es habitual en los libros de texto de la ESO: la semejanza y el teorema de Tales se estudian en 3.º y 4.º de ESO, pero la homotecia descrita con coordenadas es una ampliación; el baricentro (punto de corte de las medianas) se conoce desde la ESO y su cálculo con coordenadas enlaza con la Geometría analítica de 1.º de Bachillerato. Una homotecia tiene un centro Z y una razón k. Con Z(0, 0), el punto P(x, y) tiene por imagen P′(kx, ky): el vector ZP′ es k veces el vector ZP.

Si |k| > 1, la figura se amplía; si |k| < 1, se reduce; si k < 0, la figura además gira 180° alrededor de Z; para k = −1 tenemos la simetría central. La imagen de una recta es una recta paralela.

El baricentro de un triángulo es G = ⅓ × (A + B + C). Divide cada mediana en la razón 2 : 1, a contar desde el vértice.