Gráficas de y = ⁿ√x y potencias de exponente racional
Compara las gráficas de ³√x, ⁴√x y √x, averigua el dominio de una raíz de índice n y de una potencia de exponente racional, y compara números usando el crecimiento de la función.
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Guía
Los radicales de índice n y las potencias de exponente racional se estudian en 4.º de ESO y en 1.º de Bachillerato; en 2.º y 3.º de ESO se trabajan la raíz cuadrada y la raíz cúbica. La raíz de índice n de un número positivo a se escribe ⁿ√a. La función y = ²ᵏ⁺¹√x (la raíz cúbica, por ejemplo) está definida en ℝ: la gráfica pasa por el origen, la función es impar y creciente en ℝ, y el dominio y el recorrido son ℝ.
La función y = ²ᵏ√x (la raíz cuadrada o la raíz cuarta, por ejemplo) está definida en [0; +∞): el recorrido también es [0; +∞), la función es creciente, ni par ni impar, y la gráfica parte del punto de coordenadas (0, 0).
La función y = xr con r racional es una función potencia de exponente racional. Si la fracción irreducible mn es positiva, el dominio es [0; +∞); si es negativa, es (0; +∞).
Una función creciente conserva el orden: para a y b positivos o nulos, a < b da ⁿ√a < ⁿ√b.