Binomio con cualquier exponente: aproximaciones
Usa los primeros términos del desarrollo del binomio para estimar raíces e inversos de números cercanos a 1.
📖 Empieza aquí: lee los pasos de la «Lección» por orden (1, 2, 3 …) y responde a cada pregunta. Después sigue con «Práctica».
- Portugal: 12.º curso
- Italia: 11.º curso
- Reino Unido: Year 13
- Afganistán: 11.º curso
Guía
Este tema es una ampliación: en 1.º de Bachillerato se estudia el binomio de Newton solo con exponente natural. Aquí se amplía a exponentes fraccionarios y negativos.
Con exponente natural ya conoces el desarrollo: (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3. La misma fórmula sirve cuando el exponente n es una fracción o es negativo, pero entonces nunca termina.
(1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)2!x2 + …. Cuando x es pequeño, x² es mucho menor que x, así que los primeros términos dan un resultado muy cercano.
Ejemplo: √1,04 = (1 + 0,04)12 ≈ 1 + 0,042 = 1,02. Con solo dos términos el resultado es muy próximo.
Regla: cuando n no es un número natural, el desarrollo solo vale para |x| < 1. Coloca la estimación en la recta ampliada, escribe el coeficiente y dibuja dónde vale el desarrollo.