Explorador
Todos los estudios, del más fácil al más difícil.
Números y valor posicional
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- Contar y comparar hasta el 10Empareja manzanas una a una, cuéntalas y compáralas. Después conoce los signos <, > e =.Juega y aprende con la abubilla
- Los números hasta el 20: una decena y unidadesLee y construye los números del 10 al 20 con dos marcos del diez. Uno más, el número que está entre otros dos, y primero, segundo, tercero.Juega y aprende con la abubilla
- Recta numérica, contar de n en n, pares e imparesEncuentra números en la recta numérica, cuenta de 2 en 2, de 5 en 5 y de 10 en 10, y descubre los números pares e impares.Juega y aprende con la abubilla
- Decenas y unidades: números hasta el 100Agrupa diez unidades en una decena. Construye y lee números hasta el 100 con decenas y unidades.
- Centenas y millares: valor posicional y descomposiciónConstruye, lee y escribe números hasta 10 000 con material de base diez, descompónlos en sumas y compáralos empezando por el orden más alto.
- Números grandes, redondeo y estimaciónLee y construye números hasta los millones, por clases de tres cifras; redondea a las decenas, centenas o millares mirando el orden siguiente y estima una suma antes de calcularla.
- Estimar y redondear a las decenas y a las centenasAproxima números a las decenas y a las centenas y estima sumas y restas sin hacer el cálculo exacto.
- Números negativos y números enterosProlonga la recta numérica hacia la izquierda del cero. Mira temperaturas bajo cero y profundidades bajo el nivel del mar, y suma y resta con saltos.
- Redondear números decimalesAcércate a un número entre sus dos vecinos y mira de cuál está más cerca: redondea a las unidades, a las décimas y a las centésimas. Después descubre todos los números que dan el mismo redondeo.
- Divisores, múltiplos y números primosOrdena fichas en rectángulos para descubrir los divisores de un número. Mira por qué algunos números solo forman un rectángulo.
- Divisibilidad, m. c. d., m. c. m. y potenciasPinta múltiplos en la tabla del cien y descubre los criterios de divisibilidad. Después llegan los múltiplos y divisores comunes, los cuadrados perfectos y las potencias.
- Multiplicación y división de números enteros; valor absolutoMultiplica y divide números negativos con saltos en la recta numérica, descubre el patrón de los signos y mide la distancia hasta el cero.
- Números racionales: orden y las cuatro operacionesColoca fracciones y números decimales negativos en la misma recta numérica, compáralos y después suma y multiplica como desplazamientos y como ampliaciones o reducciones.
- La criba de Eratóstenes para los números primosEscribe los números del 1 al 50 y tacha los múltiplos hasta que solo queden los primos; después averigua dónde hay que parar.
- Restar un número negativoEscribe cada resta como una suma, mira en la recta numérica qué significa restar un número negativo y calcula restas de dos cifras por órdenes.
- Potencias de números negativos y crecimiento por duplicaciónSigue la jerarquía de las operaciones con potencias, distingue (−3)² de −3² y descubre por qué duplicar una y otra vez da números tan grandes tan deprisa.
- Factores primos, m. c. d. y m. c. m., y raíces exactasDescompón dos números en factores primos con árboles de factores. Construye el m. c. d. y el m. c. m. a partir de los primos y descubre raíces cuadradas y cúbicas agrupando los primos de dos en dos o de tres en tres.
- Propiedades de las potenciasEscribe las potencias como factores en una fracción: multiplica juntando los factores y divide tachando factores iguales arriba y abajo.
- División de números racionalesDescubre el inverso de un número racional y convierte divisiones de números con signo en multiplicaciones. Mira por qué dividir entre cero no tiene sentido.
- Raíces de índice n y potencias de exponente racionalAprende las raíces de índice n a partir de las potencias: índice par e impar, producto de radicales y, después, potencias de exponente fraccionario, como 2713 y 823.
- Notación científicaDesplaza las cifras con ÷ 10 y × 10 hasta que quede una sola cifra distinta de cero antes de la coma, y comprueba que el exponente de la potencia de 10 cuenta los desplazamientos.
- Estimar raíces cuadradas; números irracionales en la rectaEncierra una raíz cuadrada entre números enteros, aproxímate a las décimas y a las centésimas elevando al cuadrado, y separa los números racionales de los irracionales en la recta real.
- Radicales y cómo simplificarlosDescompón en factores el número que hay dentro del radical y saca cada pareja fuera: √12 = 2√3. Multiplica radicales, suma radicales semejantes y racionaliza un denominador.
- El algoritmo de Euclides para el máximo común divisor (m. c. d.)Calcula el máximo común divisor (m. c. d.) de dos números con una sucesión de divisiones, sin escribir los divisores.
- Valor absoluto de un número real y cálculo aproximadoMira el valor absoluto como distancia al origen, conoce los tres casos, compara |a + b| con |a| + |b| y calcula con raíces aproximadas.
- Propiedades de los radicales, potencias de exponente racional y ecuaciones irracionalesHalla la raíz de un cociente y la raíz de una raíz, compara raíces de distinto índice y resuelve una ecuación irracional elevando al cuadrado, comprobando la condición y haciendo un cambio de variable.
- Números con palabras: decenas de millar, centenas de millar y mil millonesConstruye y lee números grandes: números de cinco cifras, cien mil y números que pasan del millón.
- Raíces: raíces cuadradas y cúbicas y sus signosCuenta los números cuyo cuadrado es un número positivo, descubre por qué un número negativo no tiene raíz cuadrada real pero sí raíz cúbica, y por qué la raíz de un cuadrado es el valor absoluto.
- Redondear en la recta numéricaEncuentra el número en la recta numérica y mira a qué decena, centena o unidad de millar está más cerca. Un número que está justo en el medio se redondea hacia arriba.
- Los números con letrasConstruye números de dos y tres cifras con decenas y unidades y después léelos y escríbelos con letras.
- Divisibilidad en los números enterosEl algoritmo de la división, propiedades de la divisibilidad y el m. c. d. escrito como combinación de dos números.
- Tabla de números y contar de n en nCuenta de 3 en 3, de 4 en 4, de 6 en 6 y de 7 en 7 en una tabla de números y descubre la suma repetida con barras.
- Congruencia de números enterosLos números que dan el mismo resto al dividirlos entre m son congruentes. Mira cómo se calcula con ellos.
- Valor posicional en los números decimalesEscribe y lee números decimales en una tabla de órdenes con las columnas de las unidades, décimas y centésimas, constrúyelos en forma descompuesta y compáralos.
- Aproximación: redondear y truncarAproxima un número a las decenas, a las centenas, a las unidades o a las décimas con dos métodos, el redondeo y el truncamiento, di cuál de los dos es el redondeado, aproxima una fracción y estima un producto.
- Valores aproximados y errorCalcula el error absoluto y el error relativo, compara la precisión de varias medidas y estima el error de una suma.
- Descomposición de los números del 6 al 10 y el ceroDescompone los números 6, 7, 8 y 9 en dos partes con fichas. Después descubre qué pasa cuando se quita todo o no se quita nada.
- Tarjeta de descomposición y tirasEscribe los dos sumandos que forman el 6 y construye una tira de 7 cuadrados.
- Propiedades de la raíz cuadradaCalcula raíces de cuadrados, productos, cocientes y potencias con las propiedades de la raíz cuadrada. La raíz de índice n aparece más adelante, en Bachillerato.
- La serie de los números naturales y la semirrecta numéricaHalla el número anterior a uno dado, descubre por qué no hay un número natural mayor que todos, marca K(5) en una semirrecta numérica y lee una escala.
- División con resto y divisibilidad entre 9 y 3Descubre por qué el resto es menor que el divisor, construye el dividendo con D = d · c + r y comprueba la divisibilidad entre 9 y entre 3 con la suma de las cifras.
- Raíces anidadas: √(a ± 2√b)Elimina una raíz que está dentro de otra: escribe la expresión como el cuadrado de una suma o de una diferencia y halla los números a partir de su suma y su producto.
- Comparar y ordenar números grandesCompara números hasta el millón orden a orden, ordénalos y suma millares enteros.
- Números binarios y números romanosLee y escribe números binarios con los valores posicionales 1, 2, 4, 8, 16 y compara los números romanos con nuestro sistema de numeración decimal.
- Distancia entre puntos y ecuaciones con valor absolutoCalcula la distancia entre dos puntos de la recta numérica como |a − b| y resuelve ecuaciones |x − a| = b marcando puntos.
- Divisibilidad de sumas, diferencias y productos; criterios del 4, 8, 6 y 11Decide si una suma, una diferencia o un producto es divisible sin calcularlo, y usa los criterios de divisibilidad por 4, 8, 6 y 11.
- El método de Herón y los números irracionalesAproxima una raíz cuadrada con el método de Herón (un rectángulo que se parece cada vez más a un cuadrado) y descubre por qué √2 no es una fracción.
Cálculo
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- Sumar y restar hasta 10Junta manzanas, quita manzanas y compara. Después forma 10 con dos números.
- Calcular hasta 20: completar la decena y familias de operacionesCompleta primero la decena y después añade el resto. Suma tres números, cambia el orden de los sumandos y descubre las cuatro operaciones de una familia.
- Cálculo mental de sumas y restas con saltosRepresenta cada suma y cada resta con saltos en la recta numérica: primero las decenas y después las unidades, o primero hasta la decena siguiente.
- Grupos iguales: multiplicar y dividirReparte manzanas en grupos iguales, construye disposiciones rectangulares y descubre cómo se relacionan la multiplicación y la división.
- Las tablas de multiplicarAprende las tablas con imágenes y practica en un juego breve: primero el 2, el 5 y el 10, después el 0 y el 1, y luego las demás tablas hasta 10 × 10.
- Multiplicar y dividir por 10, 100 y 1000Al multiplicar por 10, cada cifra avanza un orden hacia la izquierda; al dividir entre 10, retrocede un orden hacia la derecha. Compruébalo en la tabla de órdenes, primero con números naturales y después con decimales.
- Sumas y restas en columnaColoca los números en columna y calcula columna a columna: escribe la llevada en la columna siguiente, cambia una decena con la columna vecina y comprueba el resultado.
- El algoritmo de la multiplicaciónMultiplica en columnas: por un número de una cifra, con llevadas; por un número de dos cifras, con dos filas y el cero del desplazamiento; y después con números decimales.
- División entera y algoritmo de la divisiónHaz una división cifra a cifra, descubre qué es el resto y cómo usarlo en un problema, y comprueba una división con una multiplicación.
- Para ir más allá: sumar y restar con un ábacoSuma y resta números de dos cifras moviendo cuentas en un ábaco. Cambia diez cuentas de las unidades por una cuenta de las decenas, y al revés.
- Multiplicar números acabados en ceros y calcular con decimalesMultiplica números acabados en ceros (40×30, 650×300), suma y resta números decimales en columna y multiplica dos números decimales contando las cifras decimales.
- Multiplicación por números de varias cifras y por números redondosMultiplica en columna por un número de tres cifras, por un número con un cero en medio y por un número redondo, usando productos parciales.
- Multiplicar con bloques: descomponer en partesPrimero los múltiplos de diez y después un número de varias cifras por un número de una cifra con bloques de centenas, decenas y unidades: multiplica cada parte y suma.
- Sumas y restas de cuatro cifras con bloques de millarSuma y resta números de cuatro cifras en la tabla de órdenes con bloques de unidades, decenas, centenas y unidades de millar, cambiando diez de un orden por uno del orden siguiente.
- Contar de grupo en grupo e historias de multiplicaciónContar de 7 en 7 y de 200 en 200, historias de «veces más», cambiar fichas por puntos y problemas de velocidad con una máquina que multiplica.
- Partes de una igualdad: sumandos, suma, diferenciaSuma y resta por partes en la recta numérica, pon nombre a las partes de una igualdad y resta con ayuda de la suma.
- Componente desconocido y cambio de la sumaHalla el sumando, el minuendo y el sustraendo desconocidos con una regla, compara expresiones sin calcular y observa cómo cambia la suma.
- Números de dos cifras: por columnas, por partes y compensaciónSuma y resta números de dos cifras por decenas y unidades y por partes, y calcula 38 + 9 pasando por 10 y devolviendo el que sobra. Curso: 2.º de Primaria.
- La tabla de multiplicar y cómo cambian los resultadosExplora la tabla de multiplicar, multiplica y divide en cadena, y descubre cómo dependen el producto y el cociente de sus componentes.
- Cálculo mental: por columnas, compensación y división por partesSuma y resta por orden de posición y por compensación, divide números descomponiéndolos y divide números redondos en unidades de orden. Curso: 3.º de Primaria.
- Trucos de cálculo mental para multiplicar y dividirMultiplica y divide por 5, 25, 50, 11, 101, 9 y 99 de formas cómodas, apoyándote en 10 y en 100.
- Propiedades de las operaciones y cálculo cómodoUsa las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para calcular de forma cómoda y simplifica expresiones con números racionales.
- Expresión, igualdad, desigualdadDistingue expresiones, igualdades y desigualdades, tacha las igualdades falsas y compara expresiones sin calcular. 2.º de Primaria: expresiones numéricas y signos =, < y >.
- División con resto entre 10 y entre 100Divide con resto entre 10 y entre 100 tapando cifras a la derecha, y divide números acabados en ceros tachando los mismos ceros. Curso: 4.º de Primaria.
- Cadenas de operacionesSigue las flechas: un número en el círculo y una operación en el banderín. Halla el número del final de la cadena y recupera un banderín borrado. Primer ciclo de Primaria.
- Tablas de sumarLee las tablas de sumar del 1, 2, 5 y 7, tapa los resultados y escríbelos. Después, las sumas de la segunda decena. 1.º y 2.º de Primaria.
- Restar 6, 7, 8 y 9Sustituye el minuendo por una suma de sumandos cómodos, uno de los cuales es igual al sustraendo. Entonces queda el otro sumando. 1.º de Primaria.
- Sumar y restar una sumaSuma una suma a un número, resta una suma de un número y un número de una suma, y escribe igualdades con paréntesis.
- Multiplicar y dividir por partesMultiplica y divide números de dos cifras entre números de una cifra descomponiendo el número en partes fáciles, y comprueba con la operación inversa.
- Comprobar cálculos: estimación y operación inversaEstima el resultado antes de calcular, haz la operación en columna, compruébala con la operación inversa y decide si un resultado (también el de una calculadora) es razonable.
Fracciones
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- ¿Qué es una fracción?Divide una unidad en partes iguales y escribe, con una fracción, cuántas partes has coloreado.
- Fracciones en la recta numéricaLas fracciones también son números y cada una tiene su sitio en la recta numérica. Divide el espacio de 0 a 1 en partes iguales y marca puntos.
- Fracciones equivalentesUna misma cantidad se puede escribir con fracciones distintas. Observa cómo cambia la fracción cuando las partes se hacen más pequeñas o más grandes, aunque la cantidad sea la misma.
- Comparar fracciones¿Qué fracción es mayor? Alinea las barras y mira cuál de las dos zonas coloreadas llega más lejos.
- Sumar y restar fraccionesColoca fracciones en barras, súmalas y réstalas. Cuando los denominadores son distintos, haz primero que las partes sean del mismo tamaño.
- Multiplicación y división de fraccionesCon barras, comprueba que multiplicar por una fracción es «tomarla varias veces» o «tomar una parte de», y que dividir entre una fracción es preguntar «cuántas veces cabe».
- Los números decimalesEncuentra las décimas y las centésimas en la recta numérica y mira cómo se escriben y se leen los números decimales.
- División y fraccionesHaz una división cifra a cifra y descubre que toda fracción es una división que se puede escribir como número decimal.
- Fracción de una cantidadReparte manzanas en partes iguales y coge algunas de las partes. Después aumenta y reduce una receta.
- Porcentajes: fracción, decimal y porcentajePor ciento quiere decir «de cada cien». Usa un cuadrado de cien cuadraditos y una barra del 100 % para ver que la fracción, el número decimal y el porcentaje son tres nombres de la misma cantidad.
- Multiplicar y dividir números mixtosUsa barras para ver cómo se multiplican y se dividen los número mixtos y qué operación se hace primero en un cálculo.
- División con decimales y números decimales periódicosConvierte una división con decimales en una división de números naturales, sigue dividiendo hasta ver que las cifras se repiten y vuelve a escribir un número decimal periódico como fracción.
- Fracciones de fraccionesUna fracción con otra fracción arriba o abajo: reparte una fracción en una barra, cuenta fracciones dentro de fracciones y divide invirtiendo la fracción del divisor.
- Restar números mixtos y calcular con fraccionesResta números mixtos, convierte una unidad en fracción cuando hace falta, resuelve expresiones con fracciones complejas y amplía una receta.
- Una parte de un número y el número a partir de su parteCalcula una parte de un número y halla el número a partir de una de sus partes: primero una parte y después el todo o varias partes. Sección: 3.º de Primaria (fracción de un número); las fracciones de 5.º y 6.º están en otro estudio.
- Fracciones impropias, el todo a partir de su fracción, porcentaje de un número, aproximación decimalRepresenta una fracción impropia con barras, halla el todo a partir del valor de una parte o de un porcentaje, calcula qué porcentaje es un número de otro y redondea una fracción a las centésimas.
- Fracciones de unidades de medida¿Qué parte de un metro son 6 cm y qué parte de un año son 3 meses? Expresa una fracción de una unidad en unidades menores y compárala con una cantidad.
- Un quinto y un décimoDivide una unidad en 5 y en 10 partes iguales, compara 15 y 110 y calcula un quinto y un décimo de una cantidad.
Razón y proporción
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- Razón y reparto proporcionalUsa barras de dos colores para ver qué significa 2 : 3, simplifica razones y reparte una cantidad de forma proporcional a una razón dada.
- Proporcionalidad y reducción a la unidadUsa una tabla de proporcionalidad para hallar una cantidad que falta: primero el valor de uno y después el de cualquier número. La proporcionalidad inversa viene al final.
- Razón de semejanza y figuras semejantesAmplía una figura según una razón de semejanza, descubre qué figuras son semejantes, calcula la razón de semejanza y dibuja una figura semejante a partir de un lado.
- Variación porcentual, índice de variación y precio inicialEl valor inicial es una barra del 100 %. Un aumento alarga la barra (120 %) y una rebaja la acorta (85 %). Usa las barras para hallar índices de variación, variaciones en porcentaje y precios iniciales.
- Razones entre magnitudes, precio unitario y densidadCon una tabla de proporcionalidad, halla el valor «por uno»: el precio de un kilogramo, los litros por un euro y la masa de un centímetro cúbico.
- Dibujos a escala y mapasMide en un mapa y en el plano de una habitación con una regla y usa la escala para hallar las medidas reales.
- Gráficas de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversaRepresenta una proporcionalidad directa a partir de una tabla, halla la constante k con un punto, ajusta y = kx a un punto con un deslizador, reconoce la gráfica de una proporcionalidad directa y representa una proporcionalidad inversa.
- Extra: proporcionalidad compuestaEn la proporcionalidad compuesta varían tres magnitudes a la vez. En la tabla, cambia una magnitud cada vez y decide si cada cambio es directo o inverso.
- Distancia, velocidad, tiempo: d = v · tHalla la distancia, la velocidad y el tiempo con una tabla y con las fórmulas d = v · t, v = d : t, t = d : v.
- Dos móviles y trabajo conjuntoHalla la distancia entre dos móviles que se mueven a la vez y el tiempo de un trabajo conjunto, con una tabla y un plan de resolución. Apartado: dos móviles y trabajo conjunto; la cuarta proporcional está en otro estudio.
- Reparto proporcional y la misma magnitudResuelve problemas con el esquema precio, cantidad, coste: reparto proporcional y cálculo de la magnitud que se repite a partir de dos diferencias o de dos sumas.
- Cuarta proporcional y reducción doble a la unidadResuelve problemas por el método de la razón y por reducción a la unidad, y problemas con dos cambios.
- Figuras semejantes: longitud, área y volumenCuando una figura se amplía con razón de semejanza k, las longitudes se hacen k veces mayores, las áreas k al cuadrado veces mayores y los volúmenes k al cubo veces mayores. Usa una tabla de proporcionalidad para hallar la medida que falta.
- Trabajo: rendimiento, tiempo, producciónResuelve problemas de trabajo: rendimiento · tiempo de trabajo = producción total, con una tabla y con el esquema del triángulo.
- Cuarta proporcional: la misma cantidadResuelve problemas con una cantidad que no cambia (la masa de una caja, un precio, una masa total): primero hállala y después contesta a la pregunta.
- Procesos: movimiento y trabajoResuelve problemas de movimiento simultáneo y de trabajo conjunto con un mismo plan: velocidad · tiempo = distancia, producción por hora · tiempo = producción total.
- Porcentajes: el total, la parte y el tanto por cientoCalcula la parte P, el tanto por ciento p % o el total T con la barra de porcentajes, la regla de tres y la fórmula P = T × p %.
Dinero
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- Monedas y billetesConoce las monedas y los billetes, forma una cantidad de dinero de varias maneras y descubre que más monedas no siempre significan más dinero.
- Compras y cambioSuma los precios de los artículos de una cesta, paga y descubre el cambio contando desde el precio hasta el dinero entregado.
- Porcentajes y dinero: descuentos, beneficio y pérdidaUsa una barra del 100 % para ver cuánto quita un descuento al precio y qué porcentaje del coste gana o pierde un vendedor.
- Interés simple e interés compuestoSigue unos ahorros año a año: con interés simple se suman cada año los mismos euros; con interés compuesto el dinero se multiplica siempre por el mismo número. Después mira cómo una cosa pierde valor cada año.
- IVA, descuento por pronto pago, precio de venta y por milPrecios sin IVA y con IVA, un descuento comercial seguido de un descuento por pronto pago, el esquema del precio de venta y el «por mil».
- Porcentajes y puntos porcentualesLa diferencia entre «subió un 5 %» y «subió 5 puntos porcentuales»: un tipo del 20 % al 25 %, la parte de alumnos con sobresaliente y un problema de banco.
- Préstamos: amortización constante y cuotas constantesPide un préstamo y mira cómo la deuda crece y disminuye: se paga en partes iguales de la deuda o en cuotas iguales. Compara lo que paga la persona deudora al final.
Medida
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- Comparar: más largo, más pesado, más lleno¿Cuál es más largo? ¿Cuál es más pesado? Mide con clips, palmos y vasos.
- Medir longitudes, masas y capacidadesMide con una regla, una balanza y una jarra graduada. Primero estima y después mide.
- Relojes y calendariosMueve las agujas de un reloj, escribe una hora de la tarde en formato de 24 horas y encuentra días en un calendario.
- perímetro y áreaRecorre el contorno de una figura para hallar el perímetro, cúbrela con cuadraditos para hallar el área y comprueba que dos figuras con la misma área pueden tener perímetros distintos.
- Los cuartos de hora y el orden del tiempoColoca las agujas en «y cuarto» y «menos cuarto», escribe una hora de dos maneras y compara dos duraciones.
- Cambio de unidadesPasa metros a centímetros, gramos a kilogramos y litros a mililitros. La cinta de conversión te ayuda.
- Área de triángulos, paralelogramos, trapecios y círculosMueve piezas para ver por qué el área de un paralelogramo es base × altura y la de un triángulo es la mitad. Completa un trapecio con una copia de él y estima el área de un círculo.
- El volumen del ortoedroConstruye cajas con cubos unidad, cuenta los cubos capa a capa y descubre por qué el volumen de un ortoedro es largo × ancho × alto.
- Ampliación: termómetros y unidades anglosajonasLee un termómetro en °C y conoce después las pulgadas, los pies, las libras y las pintas, con sus equivalencias aproximadas en el sistema métrico.
- Volumen y área de prismas y cilindrosGira prismas y cilindros, descubre las bases, llénalos capa a capa para ver por qué volumen = área de la base × altura y despliega el desarrollo plano para calcular el área lateral y el área total.
- Medir con más precisión y una parte de la unidadMide con tu propia unidad, cuenta las partes pequeñas de un centímetro y encuentra el punto medio de una línea.
- Pirámides, conos, esferas y cuerpos compuestosVierte una pirámide en su prisma y una esfera en su cilindro para ver de dónde salen el 13 y los 23. Abre un cono en un sector circular, calcula la generatriz con el teorema de Pitágoras y halla el volumen y el área de una torre.
- Tubo, lata y caja: problemas de volumen y de superficieEnrolla una hoja para hacer un tubo y da su capacidad en litros, compara la hoja que necesitan una lata y una caja y halla el volumen de una caja abierta.
- Cotas de error: aproximación por defecto y por excesoUna medida redondeada en realidad está en algún lugar de un intervalo. Dibuja el intervalo y usa las cotas para hallar el resultado mayor y el menor.
- Medida del tiempo: minutos y segundosAverigua una hora de llegada, calcula la duración entre dos relojes con flechas de tiempo y pasa segundos, minutos y horas de una unidad a otra.
- Kilómetros, capacidad y masa del aguaConvierte metros en kilómetros y al revés, distingue la capacidad de un recipiente del volumen de líquido que contiene y descubre que un litro de agua son 1000 cm³ y 1 kg.
- Área del rombo y del círculoCalcula el área de un rombo con cuatro triángulos y con sus diagonales, comprueba por qué un rombo es la mitad del rectángulo que lo rodea, y halla el área de un círculo a partir de sus sectores y con la fórmula pi × radio × radio.
- Metros con centímetros, kilogramos con gramosLee y escribe medidas expresadas en dos unidades (325 cm = 3 m 25 cm), elige una unidad adecuada y lee medio centímetro en la regla.
- El decímetro y las operaciones con medidasAprende que 1 dm = 10 cm, mide cintas en decímetros y suma longitudes dadas en decímetros y centímetros.
- Medidas con varias unidades: operacionesSuma, resta, multiplica y divide medidas con dos unidades: escríbelas en una sola unidad, haz la operación y vuelve a escribir el resultado con dos unidades.
- Área del rectángulo y unidades de superficieCalcula el área de un rectángulo con A = b × h, descubre un lado que falta y aprende las unidades de superficie: cm², dm², m², área y hectárea.
- El tiempo: sumar y restar medidas con varias unidadesPasa unidades de tiempo mayores a menores, suma o resta y escribe la respuesta con dos unidades. Calcula cuánto duró un acto a partir de su comienzo y su final.
- Prismas, ortoedros y pirámides: propiedades, secciones y troncoHalla la diagonal de una caja, el volumen de un prisma oblicuo, el área lateral de una pirámide regular, el volumen de un tronco de pirámide y una sección de una pirámide.
- Secciones del cilindro, del cono y de la esfera; ecuación de la esferaHalla la diagonal de una sección axial, el radio de una sección de un cono y de una esfera, y lee el centro y el radio en la ecuación de una esfera.
- Prismas: problemas con ángulos y diagonalesHalla la altura y la arista lateral de un prisma recto a partir de una diagonal y de un ángulo, calcula el área lateral y da respuestas con raíz.
- Pirámides: dónde se proyecta el vérticeA partir de aristas laterales iguales o de ángulos diedros iguales, decide sobre qué punto de la base se proyecta el vértice y halla después la altura y el área lateral.
- Volúmenes de cuerpos: problemasHalla el volumen de una pieza a partir de lo que sube el agua, el radio de una esfera fundida y el volumen de un cuerpo que se obtiene al girar un triángulo o un trapecio. Deja π en la respuesta.
- Perímetro de un polígonoHalla el perímetro del triángulo ABC y del rectángulo DMPK como la suma de las longitudes de todos sus lados.
- Longitud de un arco, área de un sector circular y de un segmento circularCalcula la longitud de un arco de n°, el área de un sector circular y de un segmento circular, con L = πrn/180 y A = πr²n/360.
- Sector circular y segmento circularUn sector circular es una fracción α/360° del círculo: calcula la longitud del arco y el área del sector, halla el ángulo a partir del arco y calcula el área de un segmento circular.
- Partes de una esfera y prisma oblicuoCalcula el área de una zona esférica, el volumen de un casquete y de un sector esférico, y el volumen de un prisma oblicuo. Escribe las respuestas con π: 20π se escribe 20π.
- Unidades de masa, de velocidad y de superficiePasa toneladas, quintales métricos y kilogramos, km/h a m/s y hectáreas a kilómetros cuadrados, y elige una unidad razonable.
- Quintales métricos, toneladas y siglosPasa toneladas y quintales métricos a kilogramos y averigua a qué siglo pertenece un año.
Formas y geometría
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- Figuras planas y simetríaConstruye un triángulo y un cuadrado en el geoplano, encuentra los triángulos y traza un eje de simetría.
- Vértices, círculos, rectángulos y simetríaCuenta vértices, encuentra la figura sin vértices, dibuja un rectángulo, dobla una figura y divide otra en partes iguales.
- Cuerpos geométricosReconoce el cubo, el ortoedro, el cilindro, el cono, la esfera y la pirámide, cuenta las caras y las aristas y dibuja un desarrollo del cubo.
- Rectas, semirrectas, segmentos y ángulosEncuentra las semirrectas, traza rectas paralelas y perpendiculares en papel de puntos y compara ángulos con la esquina de un ángulo recto.
- Triángulos y cuadriláterosClasifica triángulos por sus lados y por sus ángulos, descubre la familia de los cuadriláteros y traza las diagonales de un rombo.
- Polígonos y suma de ángulosEncuentra los polígonos regulares, descubre la suma de los ángulos de un triángulo y después divide polígonos en triángulos para hallar la suma de sus ángulos.
- Medir ángulos con el transportador de ángulosLee y dibuja ángulos con el transportador. Descubre los ángulos sobre una recta, los ángulos opuestos por el vértice y las bisectrices.
- Circunferencia: radio, diámetro y πMide el diámetro y el radio de una circunferencia. Rodea una circunferencia con una cinta y descubre cuántos diámetros caben en su longitud.
- Construcciones con regla y compásUsa el compás y la regla para conocer las cuerdas y los arcos, construir la mediatriz y la bisectriz y dibujar triángulos a partir de sus lados.
- Ángulos y rectas paralelosArrastra y gira dos rectas paralelas y una secante para ver qué ángulos son siempre iguales, cuáles suman 180° y qué pasa cuando las rectas no son paralelas. Después usa una recta paralela para demostrar por qué los ángulos de un triángulo suman 180°.
- Desigualdad triangular; medianas, alturas y bisectricesConstruye un triángulo con tres palos y descubre qué tres longitudes forman un triángulo y cuáles no. Después prueba una mediana, una altura y una mediatriz en un triángulo que puedes deformar y mira dónde se cortan las tres medianas.
- Figuras iguales y triángulos igualesDesliza, gira y refleja una figura hasta superponerla a otra. Después haz corresponder los vértices de dos triángulos, elige el criterio de igualdad, escribe una demostración línea a línea y arrastra un contraejemplo que muestra que LLA no es un criterio.
- teorema de Pitágoras y su recíprocoDibuja cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo y compara sus áreas, comprueba con cuatro copias del triángulo por qué el teorema es verdadero, calcula un lado que falta, usa el recíproco para saber si hay un ángulo recto y marca √2 en la recta numérica con el compás.
- Razonamiento y demostración en geometríaArrastra un triángulo isósceles y comprueba que los ángulos de la base siempre son iguales. Después demuéstralo con justificaciones, úsalo en una nueva demostración y muestra que otra afirmación es falsa con un contraejemplo.
- El teorema de Tales y la semejanza de triángulosDesplaza una recta paralela a un lado de un triángulo y comprueba que la razón en la que divide los otros dos lados se mantiene siempre igual. Después, prueba el recíproco, los triángulos semejantes y la razón de semejanza.
- lugar geométricoDescubre todos los puntos que están a una distancia dada de un punto, de un segmento, de dos puntos o de los dos lados de un ángulo y observa la figura que forman. Después colorea, con el compás, la región que cumple dos condiciones a la vez.
- Rectas y circunferencias, ángulos centrales e inscritos, tangentesDesliza una recta sobre una circunferencia y mira cuándo la corta, cuándo solo la toca y cuándo queda fuera. Acerca dos circunferencias, gira una tangente alrededor de una circunferencia y comprueba que el ángulo inscrito es siempre la mitad del ángulo central.
- Polígonos inscritos, circunferencias inscritas y longitudes en la circunferenciaConstruye la circunferencia circunscrita y la inscrita de un triángulo y mira dónde están sus centros. Después arrastra los vértices de un cuadrilátero inscrito y prueba dos cuerdas que se cortan: ¿qué relación se cumple siempre?
- Vistas de cuerpos geométricos y Pitágoras en el espacioGira una torre de cubos, reconoce las vistas de frente, de lado y desde arriba y dibújalas en la cuadrícula. Después calcula la diagonal del ortoedro de una caja, usando dos veces el teorema de Pitágoras.
- Extra: teoremas del triángulo rectánguloEn un triángulo rectángulo con un ángulo de 30°, el lado opuesto a ese ángulo mide la mitad de la hipotenusa; y la mediana relativa a la hipotenusa también mide la mitad. Mira los dos resultados, demuestra uno y úsalos.
- Axiomas, segmentos y teoremasComprueba que por dos puntos pasa una única recta y que AB = AC + CB, halla el punto medio de un segmento y distingue un teorema de su recíproco.
- Extra: teselaciónsJunta copias de un polígono regular alrededor de un punto y descubre cuáles encajan sin huecos ni solapamientos, por qué el pentágono regular deja un hueco y cómo se hace un mosaico con dos tipos de polígonos.
- Ampliación: poliedros regulares y seccionesGira los poliedros regulares, cuenta sus caras, vértices y aristas y descubre que V − E + F = 2. Después corta un cubo con un cuchillo y mira qué figuras pueden ser una sección.
- El ángulo exterior, lados y ángulos, triángulos rectángulosComprueba que un ángulo exterior es igual a la suma de dos ángulos interiores, que al ángulo mayor se opone el lado mayor, y usa los criterios de igualdad de triángulos rectángulos.
- Cuerdas, lugares geométricos y los cuatro pasos de una construcciónComprueba que el segmento que va del centro al punto medio de una cuerda es perpendicular a ella, halla la distancia a una cuerda y cuenta las soluciones de una construcción con lugares geométricos.
- Cónicas: cortar un conoCorta un cono con distintos planos y mira de dónde salen la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. Después comprueba qué curva sale con la razón entre la distancia a un foco y a una directriz.
- Polígonos regulares y circunferencia exinscrita de un triánguloCalcula el lado y la apotema de un polígono regular a partir del radio de su circunferencia circunscrita o inscrita, y el radio de la circunferencia exinscrita de un triángulo.
- Rectas y planos en el espacioCon un ortoedro averigua cómo pueden estar dos rectas en el espacio: paralelas, secantes o que se cruzan. Después estudia una recta y un plano, una recta perpendicular a un plano y el ángulo entre dos rectas que se cruzan.
- Axiomas de la geometría del espacio y seccionesHaz pasar un plano por tres puntos, halla la recta en que se cortan dos planos, reconoce una recta paralela a un plano y nombra la forma de una sección de un cubo.
- Planos paralelos, proyección y perpendicularesComprueba si dos planos son paralelos, compara segmentos entre planos paralelos, halla la longitud de una proyección paralela y la distancia de un punto a un plano.
- Simetría de polígonos, ángulos interiores y exterioresCuenta los ejes de simetría de los polígonos regulares, calcula el ángulo de cada vértice y descubre por qué los ángulos exteriores siempre suman 360 grados.
- Teoremas de la circunferencia y teorema de la bisectrizDemuestra que dos tangentes trazadas desde un punto son iguales y aprende que la bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en la razón de los otros dos lados.
- Perpendicular y paralela por un punto, y construcción a partir de datosDesde un punto exterior a una recta, construye una perpendicular y una paralelo; después construye un rombo y un triángulo isósceles con el compás, analizando antes el problema.
- Construcción de un ángulo y de triángulos con regla y compásConstruye un ángulo igual a otro dado, un triángulo a partir de dos lados y el ángulo que forman, a partir de un lado y los dos ángulos contiguos, y un triángulo rectángulo a partir de un cateto y la hipotenusa.
- Lugares geométricos en construcciones: un punto, una circunferencia, un triánguloHalla el punto buscado como intersección de dos lugares geométricos. Tres tareas: un punto de una recta a una distancia dada de otra recta, una circunferencia tangente a una recta en un punto dado y un triángulo a partir de un lado y del radio de la circunferencia circunscrita.
- Demostración por reducción al absurdoAprende a demostrar teoremas por reducción al absurdo: supón que la conclusión es falsa, llega a una contradicción y concluye.
- Ceva, Menelao, Ptolomeo y la recta de EulerLecturas opcionales de Geometría: cuándo tres cevianas se cortan en un punto, cuándo tres puntos están alineados, el producto de las diagonales de un cuadrilátero inscrito y la recta de Euler.
- Semirrectas, segmentos y diagonalesPon nombre a puntos, semirrectas y segmentos con letras, dibuja un segmento con una longitud dada y cuenta las diagonales de un polígono resolviendo antes un problema más sencillo.
- Simetría y papel dobladoCuenta las figuras simétricas con un eje de simetría, dibuja la imagen simétrica y predice la forma que sale al doblar y recortar un papel.
- Resolver problemas de geometría: hipótesis, tesis y planSepara la hipótesis de la tesis, haz un plan antes de escribir una demostración, descubre el camino más corto con una perpendicular y el teorema de Pitágoras, y mira aplicaciones a la circunferencia.
- Los cuadriláteros: clasificación, simetrías y diagonalesClasifica trapecios, cometas, paralelogramos, rombos, rectángulos y cuadrados por sus simetrías y sus diagonales, y construye una cometa.
- Razones y proporciones: sumar el denominador al numeradorEn una figura con un segmento paralelo a un lado del triángulo, descubre que, en una proporción, puedes sumar el denominador al numerador en los dos miembros y la igualdad sigue siendo verdadera.
- Ángulo en una semicircunferencia, circunferencia circunscrita y tangenteDemuestra que el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto y su recíproco, descubre la circunferencia circunscrita a un triángulo y construye una tangente con la circunferencia de diámetro PM.
- Circunferencia y círculoDistingue una circunferencia de un círculo, encuentra el centro y los radios y marca los puntos que están en la circunferencia.
- Construir triángulos con un planCroquis, descripción numerada y número de soluciones al construir triángulos, también con una altura.
- Hipótesis, tesis, recíproco y demostraciónSepara un teorema en hipótesis y tesis, forma su recíproco y refútalo con un contraejemplo, demuestra el teorema de Pitágoras y usa su recíproco.
- Dibujo de cuerpos geométricos en perspectiva caballeraAcorta las aristas de profundidad con el coeficiente de reducción q, detecta dibujos incorrectos y calcula medidas reales a partir de la perspectiva.
- Planos de simetría y seccionesCuenta los planos de simetría de cuerpos geométricos, halla las secciones axiales del cilindro y del cono y usa coordenadas en el espacio para la diagonal espacial.
- Homotecias en el plano cartesianoCalcula las imágenes de puntos y de rectas por una homotecia con la regla de los vectores, descubre la razón k y halla el baricentro de un triángulo.
- Perpendicular y oblicua, ángulo recta-plano, ángulo diedroHalla una oblicua a partir de la perpendicular y de su proyección, mide el ángulo entre una recta y un plano y un ángulo diedro por su ángulo rectilíneo, y comprueba que dos planos son perpendiculares.
- El paralelogramo, el rectángulo, el rombo y el cuadradoAprende los elementos de un cuadrilátero, las propiedades y los criterios del paralelogramo y las diagonales del rectángulo y del rombo.
- El trapecio, su base media, el cuadrilátero circunscrito y el área del trapecioAprende las propiedades del trapecio isósceles, la base media, la condición para que un cuadrilátero tenga una circunferencia inscrita y el área del trapecio.
- Criterios de semejanza de triángulos: LAL y LLLReconoce triángulos semejantes por dos lados y el ángulo comprendido, o por tres lados, calcula un lado desconocido y evita la trampa del ángulo que no está comprendido entre los lados.
- El segmento, su longitud y la rectaCompara segmentos superponiendo uno sobre otro, calcula la longitud de AB a partir de dos partes, mide la distancia entre puntos y averigua cuántas rectas pasan por dos puntos.
- Polígonos, figuras iguales, área, área agraria y hectáreaNombra un polígono por sus vértices, encuentra una figura igual superponiéndola a otra, aprende en qué se distinguen las figuras iguales de las figuras con la misma área y pasa el área de un campo a hectáreas. La fórmula S = a · b está en el estudio de la etapa anterior.
- El cilindro y el cono: bases y desarrolloReconoce las bases de un cilindro y de un cono y calcula el área lateral de un cilindro a partir de su desarrollo.
- Punto, recta, curva, semirrecta, segmento, línea poligonalEncuentra puntos, rectas y curvas en un dibujo, nombra las partes en que los puntos dividen una recta y mide la longitud de una línea poligonal.
- Secantes y tangente a una circunferenciaDesde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, o una secante y una tangente. Los productos de los segmentos coinciden: PA · PB = PC · PD y PT² = PA · PB.
- Rectas paralelas que cortan a un plano y proyección paralelaHalla longitudes de segmentos de rectas paralelas que cortan a un plano y razones de segmentos en una proyección paralela.
- Duplicar una mediana y el teorema de VarignonProlonga una mediana para obtener un paralelogramo y demostrar una cota para la mediana; une los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera y mira qué figura aparece.
- Razones entre áreas de triángulosCompara áreas sin calcularlas: los triángulos con la misma altura tienen áreas en la razón de sus bases, una mediana divide un triángulo por la mitad y un vértice que se mueve sobre una paralela mantiene el área.
- La semejanza en la práctica: la altura con la sombra y una distancia inaccesibleUsa triángulos semejantes para medir en el campo: la altura de un árbol por su sombra, la distancia a través de un río y la razón entre las áreas de figuras semejantes. Escribe las soluciones como Datos, Se pide, Solución y Respuesta.
- Ángulos entre cuerdas, secantes y una tangenteUn ángulo cuyo vértice no está en la circunferencia se mide con arcos: entre dos cuerdas que se cortan, la semisuma de los arcos; entre dos secantes, la semidiferencia; entre una tangente y una cuerda, la mitad del arco.
- Dos circunferencias y sus tangentes comunesLa posición de dos circunferencias depende de la distancia entre centros d y de los radios R y r: mueve una circunferencia y observa cuántos puntos comunes y cuántas tangentes comunes hay.
- Repaso de geometría del espacioElige el siguiente paso correcto de una demostración sobre rectas que se cruzan y resuelve problemas sobre el ángulo entre rectas, la proyección paralela y una perpendicular a un plano.
- Compruébalo tú: poliedros, cuerpos de revolución, volúmenesPreguntas tipo test con las opciones A, B, C, D sobre el área lateral de un prisma, un cilindro y un cono, y sobre el volumen de una esfera.
- Poliedros: caras, aristas, vérticesEncuentra las bases, las caras laterales y las aristas de una pirámide, un prisma y un ortoedro, y cuenta sus caras y aristas.
- Área de la proyección ortogonal de un polígonoUsa el teorema del área de una proyección, S′ = S · cos α, para hallar el área de una proyección o la del propio polígono.
- Donde una recta corta a un plano y donde se cortan dos planosConstruye el punto en que una recta corta al plano de la base de un cubo y la recta en que se cortan dos planos de un tetraedro, usando los axiomas de la geometría del espacio.
- Un punto equidistante de los vértices o de los lados de un polígonoSi M está a la misma distancia de los vértices de un triángulo, su proyección es el circuncentro; si está a la misma distancia de los lados, es el incentro. Calcula la distancia de M al plano.
- Ángulo, ángulo recto, rectángulo y cuadradoNombra un ángulo con letras, encuentra un ángulo recto con el modelo, distingue un rectángulo de otros cuadriláteros y un cuadrado de otros rectángulos.
- Polígonos regulares: ángulo, número de lados, construcciónHalla el número de lados de un polígono regular a partir de su ángulo, comprueba si existe y construye un hexágono con cuerdas iguales al radio y un polígono de 2n lados.
- Simetría y homotecia en el espacioHalla el simétrico de un punto respecto de un plano, calcula cómo crece un volumen con una homotecia y encuentra todos los planos de simetría de un cubo y de una esfera.
- Poliedros, desarrollos y caminos más cortosDecide qué poliedros son convexos, usa la fórmula de Euler, despliega un prisma y halla el camino más corto de una araña sobre un ladrillo.
- Cuerpos inscritos y circunscritosHalla el radio de una esfera inscrita en un cubo o en un cono, el de una esfera circunscrita a un ortoedro, y el volumen de un cilindro circunscrito a un prisma.
- Dibujar en papel cuadriculadoDibuja en papel cuadriculado, como en el cuaderno de cuadros: un segmento de una longitud dada, un cuadrado, un rectángulo y una figura con un perímetro dado.
- La escuadra y las figuras formadas por rectángulosDibuja un ángulo recto y una perpendicular con la escuadra y calcula el área de una figura formada por rectángulos.
- Edificios de cubos: plano de construcción y vistasLee un plano de construcción con alturas, dibuja el alzado y la planta y calcula cuántos cubos puede tener como máximo un edificio.
- Papel cuadriculado: construir, recorridos y área contando cuadrosConstruye un rectángulo en una cuadrícula, mide la longitud de un recorrido, halla el área de una figura contando cuadros y estima una figura redonda con una cuadrícula transparente.
- Escuadra, regla y transportadorTraza una perpendicular y una paralela con la escuadra, mide y dibuja ángulos con el transportador y traza la altura de un triángulo.
- Teselaciones y frisosCuenta las figuras alrededor de un punto de una teselación, continúa un friso por traslación y por reflexión y descubre los ejes de simetría.
- Transformaciones seguidasAplica dos transformaciones, una después de otra, descubre la curva por la que se mueven las imágenes de un punto y mira el efecto del orden.
Posición y dirección
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- Posición, dirección y girosDescubre la izquierda y la derecha, arriba, abajo y entre. Después gira una flecha un cuarto de vuelta, media vuelta y tres cuartos de vuelta.
- coordenadas y traslaciónMarca puntos a partir de sus coordenadas, encuentra el vértice que falta en una figura y desplaza figuras en una cuadrícula mediante una traslación.
- Simetría axial, giro y centro de simetríaMarca puntos en los cuatro cuadrantes del plano, construye la imagen de una figura por una simetría axial, gira una figura alrededor de un punto y busca las figuras que tienen un centro de simetría.
- Transformaciones y ampliaciónDescubre qué transformaciones conservan longitudes, ángulos y sentido, amplía una figura desde un centro con factor de escala 2 y 12, encuentra el centro de una ampliación y mira qué pasa con el área.
- Simetría axial y giroRefleja una figura en una recta vertical, en una recta oblicua y en el eje de abscisas, completa una figura a partir de su mitad, gira figuras alrededor de distintos puntos y halla las coordenadas de una imagen.
- Composición de movimientos, simetría y el truco de la simetría axialDescubre dos simetrías axiales seguidas, la simetría con deslizamiento, los ejes de simetría de un polígono y el camino más corto que se obtiene con una simetría axial.
Patrones y sucesiones
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- Patrones de repetición y patrones numéricosFiguras y números que siguen una regla. Descubre el patrón, continúalo y corrígelo.
- Máquinas de entrada y salida y reglas de sucesionesUn número entra en una máquina y sale otro. Descubre qué hace la máquina y después busca la regla de una sucesión de números.
- El término general y las progresiones geométricasConstruye una tabla a partir de una sucesión de cerillas, descubre el término general y úsalo para contar la figura 20 sin dibujarla. Después conoce las sucesiones en las que se multiplica cada vez.
- Sucesiones, término general y recurrenciaUsa la notación uₙ para hallar términos, construye una sucesión por recurrencia, reconoce una sucesión periódica y cuenta números triangulares.
- Sumatorio y suma de seriesLee el símbolo Σ, calcula sumas de progresiones aritméticas y geométricas y entiende por qué una suma infinita puede ser un número.
- Sumas especiales, diferencias y modelizaciónConstruye la suma de cuadrados, suma una serie con el método de las diferencias, halla el término general de una sucesión cuadrática y resuelve un problema real con una progresión aritmética.
- Gráfica de una sucesión, monotonía y acotaciónRepresenta una sucesión con puntos (n, a_n): una progresión aritmética queda sobre una recta, una progresión geométrica sobre una curva. Después decide si una sucesión es siempre creciente y si queda por debajo de una cota.
- Regularidades numéricas: sumas con regla, capicúas y pirámides de númerosContinúa sumas con regla, descubre la regla, construye capicúas y calcula el número que falta en una pirámide de números.
Álgebra
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- Jerarquía de las operaciones, letras y fórmulasCalcula expresiones numéricas paso a paso y en el orden correcto. Después deja que una letra represente un número y usa fórmulas.
- Expresiones, términos semejantes y valor numéricoConstruye expresiones con fichas de álgebra, reduce los términos semejantes, quita los pares de cero y después sustituye x por un número.
- Resolver ecuaciones de primer grado con la balanzaUna ecuación es una balanza. Prueba valores y resuelve después ecuaciones con x solo en un lado o en los dos lados, con fracciones y con paréntesis, haciendo lo mismo en los dos platillos.
- Plantear y resolver ecuaciones a partir de problemasUna letra representa el valor desconocido, la historia se convierte en una ecuación, se resuelve y, al final, se comprueba la respuesta en el problema.
- Quitar paréntesis y sacar factor comúnMira un paréntesis como un rectángulo: quita paréntesis pintando su área con piezas y después haz el camino inverso, descubriendo los lados de un rectángulo para factorizar.
- Producto de binomios e identidadesMultiplica dos paréntesis como un rectángulo de piezas y en una tabla, descubre por qué (a + b)² tiene dos franjas ab y distingue una identidad de una ecuación.
- Inecuaciones, intervalos y cómo resolverlasMuestra en la recta numérica las soluciones de una inecuación: círculo relleno o vacío, segmento o semirrecta. Después, resuelve inecuaciones y mira por qué multiplicar por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.
- Expresiones algebraicas: forma reducida, restar, multiplicarEscribe una expresión algebraica en el orden habitual, resta con paréntesis, multiplica tres términos por dos en una tabla y eleva un producto a una potencia.
- Sistemas de ecuaciones linealesEncuentra el punto que cumple dos ecuaciones a la vez: léelo donde se cortan las rectas, dibuja la segunda recta, elimina una incógnita, conoce las rectas paralelas y obtén un valor exacto donde la gráfica solo da una estimación.
- Factorizar polinomios de segundo grado y otras identidadesColoca las piezas de un polinomio de segundo grado en un rectángulo para hallar sus dos paréntesis, reconoce los pares de ceros cuando hay negativos, saca primero el factor común y descubre la identidad de la suma de dos cubos.
- Ecuaciones con dos incógnitas y sistemasBusca los pares que cumplen una ecuación con dos incógnitas, dibuja su gráfica, escribe un sistema a partir de una historia y halla su solución.
- Fracciones algebraicasFactoriza el numerador y el denominador de una fracción algebraica y simplifica los factores iguales. Busca los valores que x no puede tomar y después suma, resta y divide fracciones algebraicas con un denominador común.
- Agrupar y cubos: factorizaciónFactoriza un polinomio de cuatro términos agrupando, factoriza sumas y diferencias de cubos y elige por dónde empezar cuando valen varios métodos.
- Ecuaciones de segundo grado: factorizar, completar cuadrados, discriminanteResuelve ecuaciones de segundo grado factorizando, completa el cuadrado con piezas como hacía Al-Juarismi y usa el discriminante para saber cuántas soluciones hay.
- Polinomios y división de polinomiosAmpliación: el grado y el orden de un polinomio y después la división de polinomios, rellenando al revés una tabla de multiplicar, con resto y con potencias que faltan.
- Regla de Ruffini y raíces enterasDivide un polinomio entre x − a con la tabla de la regla de Ruffini, halla el resto y busca las raíces enteras entre los divisores del término independiente.
- Tablas de signos e inecuaciones con fraccionesDescubre dónde una expresión es positiva y dónde es negativa: marca los ceros, rellena una tabla de signos debajo de la recta numérica y lee la solución de una inecuación como x − 1x + 2 ≥ 0.
- Inecuaciones con dos incógnitas y regiones del planoDibuja la recta frontera, elige trazo continuo o discontinuo, prueba un punto y sombrea la región. Después busca la región que cumple dos o tres inecuaciones a la vez.
- Desigualdades numéricas y sus propiedadesCompara números con el signo de la diferencia a − b, demuestra desigualdades, suma desigualdades miembro a miembro y acota el valor de una expresión.
- Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnitaResuelve cada inecuación de un sistema, representa las soluciones en la recta y descubre la parte común: un intervalo, un único número o el conjunto vacío.
- Sistemas de ecuaciones con dos incógnitasEncuentra las soluciones de un sistema con una ecuación de segundo grado como puntos comunes de las gráficas, resuélvelo por sustitución y escribe un sistema a partir de un problema.
- Sistemas de ecuaciones: el método de sustituciónSustituye una incógnita por su expresión en la otra ecuación, conserva los paréntesis, despeja primero una incógnita y comprueba la respuesta en la gráfica y en las dos ecuaciones.
- Ecuaciones racionales y ecuaciones con radicalesResuelve ecuaciones con fracciones y ecuaciones con raíces cuadradas, y elimina las soluciones extrañas comprobándolas.
- Suma y producto de las soluciones, ecuaciones bicuadradas y recta con parábolaLee la suma y el producto de las soluciones a partir de los coeficientes, resuelve una ecuación en x elevado a cuatro con un cambio de variable y descubre dónde corta una recta a una parábola.
- Teorema del resto, teorema del factor y raíces de polinomiosCalcula un resto sin dividir, descubre un factor con el teorema del factor, halla las raíces de un polinomio de tercer grado y lee coeficientes a partir de las raíces.
- Inecuaciones de segundo grado y parámetrosResuelve inecuaciones de segundo grado con el signo de los factores y comprueba cómo una letra en una ecuación convierte «¿cuántas soluciones?» en una inecuación.
- Despejar una letra en una fórmulaDeja una letra sola en una fórmula: usa los mismos movimientos de la balanza, pero con letras.
- Binomio con cualquier exponente: aproximacionesUsa los primeros términos del desarrollo del binomio para estimar raíces e inversos de números cercanos a 1.
- Parábola que pasa por tres puntosEscribe y resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales en a, b y c y confirma la parábola en la gráfica.
- Ecuaciones: la operación inversa para hallar el término desconocidoPlantea una ecuación a partir de un problema, resuélvela con la operación inversa y comprueba la solución sustituyendo. Apartado: 3.º y 4.º de Primaria, ecuaciones con un término desconocido.
- Operaciones con fracciones algebraicas: resta, denominadores opuestos, potencias e identidadesResta fracciones algebraicas cambiando los signos, halla los factores que faltan, trabaja con denominadores opuestos, eleva una fracción a una potencia y demuestra identidades.
- Ecuaciones equivalentes, ecuaciones con fracciones y problemasAprende qué son las ecuaciones equivalentes y una solución extraña, resuelve una ecuación con fracciones algebraicas comprobando el resultado y plantea ecuaciones en problemas de movimiento y de trabajo.
- Ecuaciones de segundo grado incompletas y trinomio de segundo gradoResuelve los tres tipos de ecuación de segundo grado incompleta, descubre las raíces de un trinomio de segundo grado y factorízalo con el coeficiente de x².
- Fórmulas, ecuaciones y solución de una ecuaciónUsa la fórmula del espacio, halla la parte desconocida de una operación, comprueba una solución sustituyendo, pasa términos al otro miembro cambiando el signo y descubre cuándo ax = b no tiene solución.
- Sistemas de ecuaciones como modelos de problemasTraduce problemas de movimiento, trabajo, cifras y rectángulos a ecuaciones: pon nombre x e y a las incógnitas, escribe el sistema, resuélvelo y comprueba que la respuesta sirve para la historia.
- Expresiones con una letraUna letra en lugar de un recuadro da una expresión con una variable. Sustituye la letra por un número y calcula el valor de la expresión.
- Desigualdades con una variable: cómo influye un término en el resultadoResuelve desigualdades con una variable de dos maneras: probando y pasando a una ecuación. Escribe la respuesta con puntos suspensivos. Primaria, 3.º y 4.º.
- El método de los intervalosMarca las raíces en la recta, pon un signo en cada intervalo y lee la solución de una inecuación como (x + 1)x − 4x − 2 ≤ 0.
- Ecuaciones con parámetroUn parámetro es un número que no se da, pero que está fijado. Mira la gráfica y separa casos: ¿para qué valores de a hay soluciones y cuántas?
- Multiplicar y dividir fracciones algebraicasMultiplica y divide fracciones algebraicas: factoriza, simplifica, convierte la división en una multiplicación por la fracción inversa e indica qué valores de la letra no están permitidos.
- Parte entera de una fracción y ecuaciones en números enterosSaca la parte entera de una fracción algebraica, halla las últimas cifras y los restos de las potencias por su ciclo y resuelve ecuaciones en números enteros.
- Ecuación de segundo grado con parámetroMueve a y observa cómo sube y baja la parábola: el número de soluciones depende del discriminante y los signos de las soluciones, de las relaciones de Vieta.
- Inecuaciones irracionales y sistemas equivalentesResuelve inecuaciones con una raíz cuadrada convirtiéndolas en un sistema equivalente, teniendo en cuenta el dominio y el signo del segundo miembro.
- Sistemas de inecuaciones y condiciones con «o»; sistemas exponenciales y logarítmicosDistingue «y» (un sistema, la parte común) de «o» (la unión), resuelve sistemas mixtos y sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
- Problemas de mezclas, aleaciones y porcentajesOrganiza una tabla de «antes y después» para una disolución, una aleación o un precio, elige x para que se cumpla la condición y comprueba que la respuesta tiene sentido.
- Estructura de las expresiones y jerarquía de las operacionesDi cuál es la última operación de una expresión, haz los pasos en el orden correcto y pon paréntesis para cambiar el resultado.
- Ecuaciones con un hueco y operaciones inversasEscribe una historia como una igualdad con un cuadrado, averigua el número con la operación inversa, resuelve adivinanzas hacia atrás y haz la comprobación.
Geometría analítica
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- Pendiente, ordenada en el origen y y = ax + bMide la inclinación de una recta con un triángulo, ajusta a y b con deslizadores, dibuja una recta a partir de una tabla de valores y halla la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
- Rectas paralelas y perpendiculares, distancia y punto medioDibuja rectas paralelas y perpendiculares, calcula la distancia entre dos puntos con el teorema de Pitágoras y el punto medio como media de los extremos.
- Dividir un segmento en una razón y distancia de un punto a una rectaHalla el punto que divide un segmento en una razón dada y la distancia de un punto a una recta con la fórmula.
- Área de un triángulo a partir de las coordenadas y problemas de geometríaCalcula el área de un triángulo a partir de las coordenadas de sus tres vértices y usa las coordenadas para resolver problemas de geometría.
- La circunferencia: ecuación, recta y circunferencia, tangenteConstruye y lee la ecuación de una circunferencia, halla los puntos comunes a una recta y una circunferencia y trabaja con la tangente y su longitud.
- Cónicas y la parábolaReconoce la parábola como el conjunto de los puntos que están a la misma distancia de un foco y de una directriz y lee su ecuación con el vértice en el origen y en un punto cualquiera.
- La elipse, la hipérbola y una recta respecto a ellasHalla los focos de una elipse y de una hipérbola a partir de su ecuación, construye una elipse con el centro en cualquier punto, dibuja la asíntota de una hipérbola y estudia una recta respecto a una parábola.
- Ecuaciones paramétricas y coordenadas polaresDibuja una curva punto a punto a partir de ecuaciones paramétricas, elimina el parámetro, modela un movimiento y convierte coordenadas polares en cartesianas.
- Pendiente de una recta y vectores colinealesDescubre la pendiente m a partir de la inclinación de una recta (m = tg α, también con α obtuso), las rectas perpendiculares y un vector paralelo a otro dado.
- Una recta y los ejes: triángulo, perímetro y áreaDescubre dónde corta una recta ax + by = c a los ejes, el perímetro y el área del triángulo que forma con ellos y dónde se cortan dos rectas.
- Área con un determinanteCalcula el área de paralelogramos y de triángulos a partir de vectores y de coordenadas, con el determinante de orden dos.
- Coordenadas de un punto en el espacioDecide dónde está un punto y halla, con sus coordenadas, la distancia entre dos puntos, el punto medio de un segmento y un punto simétrico.
Funciones y gráficas
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- relación, par ordenado y funciónRepresenta una relación en un diagrama sagital, marca los pares ordenados, decide qué relaciones son funciones y prueba el criterio de la recta vertical en una gráfica.
- Gráficas de la vida real, velocidad y crecimientoLee una gráfica distancia-tiempo para descubrir paradas y velocidades, dibuja la gráfica de un paseo, relaciona una botella que se llena con su gráfica y compara el crecimiento por duplicación con el crecimiento regular.
- Gráficas de funciones cuadráticasCompleta una tabla para y = x2 − 2x − 3 con valores negativos de x y marca los puntos, descubre por qué el fondo de una parábola es redondeado, lee en la gráfica los puntos de corte, la ordenada en el origen y el vértice y averigua qué hace la a en y = ax2.
- Notación f(x), dominio y recorridoCalcula valores de f(x) con una regla, averigua qué número de partida da un resultado, escribe el dominio de una fracción y de una raíz cuadrada y lee el recorrido en una gráfica.
- Funciones valor absoluto y parte enteraMira el valor absoluto en una tabla y en una gráfica, resuelve una ecuación con valor absoluto como dos cortes con una recta, lee los escalones de la función parte entera y representa una tarifa de taxi que sube por escalones.
- Funciones crecientes, decrecientes, pares e imparesEncuentra los intervalos en los que una gráfica sube o baja, refleja puntos en el eje Y y en el origen y usa f(−x) para comprobar si una función es par, impar o ninguna de las dos.
- Suma, composición e inversa de funcionesSuma dos funciones, respeta el orden en una función compuesta, halla la inversa de un programa de cálculo deshaciendo sus pasos, dibuja la gráfica de la inversa por simetría respecto de la recta y = x y usa una recta horizontal para ver qué funciones tienen inversa.
- Traslación, simetría y dilatación de gráficasMueve con deslizadores la gráfica de y = (x − h)² + k, lee el vértice de una parábola, mira adónde lleva f(2x) un punto y combina varias transformaciones en una parábola.
- Gráficas de funciones cúbicas, esbozo de polinomios y asíntotasCompleta y representa una tabla de valores de una función cúbica, esboza la gráfica de un polinomio a partir de sus ceros y de su punto de corte con el eje Y, y traza las asíntotas vertical y horizontal de una función racional.
- La función afín: fórmula, tabla y gráficaDefine una función con una fórmula, una tabla y una gráfica, dibuja una recta a partir de a y de b, halla el cero de una función y los valores de x en los que es positiva.
- La función cuadrática y las propiedades de las funcionesHalla el vértice de una parábola con la fórmula y lee el recorrido de una función cuadrática en su gráfica.
- El número e, crecimiento y decrecimientoDescubre por qué (1 + 1n)n se acerca a e, coloca la gráfica de y = a×ex sobre una curva dada y construye modelos de crecimiento y de decrecimiento.
- Funciones exponenciales de cualquier base y ecuaciones exponencialesCompleta una tabla de valores de 2^x, comprueba que una base mayor que 1 da una curva creciente y una base entre 0 y 1 una curva decreciente, y resuelve una ecuación exponencial escribiendo los dos miembros con la misma base.
- LogaritmosEntiende que un logaritmo es el exponente al que se eleva la base y construye la gráfica del logaritmo como simétrica de la gráfica de la exponencial.
- Propiedades de los logaritmos y ecuacionesDescubre las propiedades del logaritmo de un producto y de una potencia, resuelve una ecuación logarítmica y convierte datos en una recta con logaritmos.
- Funciones definidas a trozos, signo y valor absolutoLee una función definida a trozos, dibuja la función signo, construye y = |x − 1| + 2 moviendo la «uve» y lee inecuaciones con valor absoluto en una gráfica.
- Máximos y mínimos, funciones potenciaHalla el mayor y el menor valor de una función en un conjunto, compara las gráficas de y = xⁿ para n par e impar y conoce la gráfica de y = x⁻ⁿ.
- Hipérbolas desplazadasDesplaza la hipérbola con b y c, lee las asíntotas, el dominio y el recorrido, y calcula el punto de corte con el eje Y.
- Familias de rectas y de parábolasMueve el parámetro de una familia, descubre la curva que contiene los vértices y resuelve el problema de la tangente con el discriminante.
- Ecuaciones e inecuaciones exponenciales: métodosSaca factor común una potencia, usa el cambio de variable t = 2ˣ, lee una raíz en una gráfica y decide cuándo una inecuación mantiene el sentido.
- Las funciones y = k/x e y = √x y sus gráficasDibuja una hipérbola a partir de una tabla, descubre en qué cuadrantes están sus ramas, halla k a partir de un punto y dibuja y = √x.
- Identidad logarítmica, cambio de base, función logarítmicaUsa la identidad logarítmica fundamental, cambia de base y compara logaritmos con base entre 0 y 1. Tema: propiedades de los logaritmos y función logarítmica (Bachillerato); las ecuaciones logarítmicas están en otro estudio.
- Ecuaciones e inecuaciones logarítmicasResuelve ecuaciones con una suma de logaritmos, comprueba las raíces en el dominio, haz el cambio t = log x, halla una base desconocida y resuelve inecuaciones con base entre 0 y 1.
- La función y = x² y su gráficaConstruye la tabla de valores de y = x², dibuja los puntos, descubre las propiedades de la gráfica y resuelve x² = 4 y x² = x + 2 con la gráfica.
- Leer las propiedades de una función en su gráficaA partir de la gráfica de una función definida en [−4, 7], halla sus ceros, los intervalos en los que conserva el signo, un intervalo en el que crece y su máximo.
- Gráficas de y = ⁿ√x y potencias de exponente racionalCompara las gráficas de ³√x, ⁴√x y √x, averigua el dominio de una raíz de índice n y de una potencia de exponente racional, y compara números usando el crecimiento de la función.
- Crecimiento y decrecimiento exponencial: B(t) = B₀ · q^tDistingue tablas lineales, cuadráticas y exponenciales, calcula el tiempo de duplicación y el periodo de semidesintegración con el logaritmo y reconoce los límites de un modelo exponencial.
- Funciones polinómicas: comportamiento en los extremos, ceros y expresionesLee el comportamiento en los extremos a partir del grado y del coeficiente del término de mayor grado, distingue ceros simples de ceros dobles, resuelve una ecuación bicuadrada y halla una expresión a partir de una gráfica.
- Problemas de máximo sin derivadasEscribe la función objetivo para un rectángulo vallado, un rectángulo dentro de un triángulo y una caja, y lee el valor máximo en el vértice o en una tabla. Indica el dominio de la variable.
- Familias de funciones y sus parámetrosDesplaza funciones potencia y exponenciales con deslizadores, lee el dominio, el recorrido y la asíntota, descubre la función inversa como una simetría y asocia una gráfica con su expresión.
- Funciones racionalesDistingue una asíntota de un hueco, lee límites, halla asíntotas y construye una expresión a partir de sus propiedades.
- La expresión de una función a partir de condicionesTraduce propiedades a ecuaciones para f, f′ y f″, halla parámetros y el lugar geométrico de los extremos de una familia de funciones.
Vectores
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- Vectores fijos, vectores libres y traslacionesDibuja vectores del origen al extremo y lee sus coordenadas, encuentra vectores iguales y opuestos y traslada una figura según un vector.
- Suma de vectores, producto por un número y vector unitarioSuma vectores uno a continuación del otro y con la regla del paralelogramo, resta un vector de otro, alarga e invierte un vector con un número y escribe cualquier vector con i y j.
- Para ir más lejos: vectores en movimientoSuma los desplazamientos de un robot en uno solo, hazlo volver al punto de partida con el vector opuesto y mira cómo la corriente de un río cambia la trayectoria de una nadadora.
- Vectores en el espacio: módulo, distancia y punto medioUn vector del espacio es la diagonal de un ortoedro. Halla el módulo de un vector, la distancia entre dos puntos y el punto medio de un segmento a partir de las coordenadas.
- El producto escalar de dos vectoresEl producto escalar de dos vectores es un número que informa sobre el ángulo entre ellos. Calcúlalo, úsalo para saber cuándo dos vectores son perpendiculares y para medir el ángulo entre dos vectores.
- Área y volumen con el producto vectorialEl módulo del producto vectorial de dos vectores es el área de su paralelogramo. Con tres vectores, un determinante da el volumen del paralelepípedo.
- Ecuaciones de una recta y de un plano en el espacioUna recta en el espacio queda definida por un punto y un vector director, y un plano por un punto y un vector normal. Escribe sus ecuaciones y comprueba puntos en ellas.
- Ángulos, intersecciones y distancias en el espacioHalla el ángulo entre una recta y un plano, el punto donde una recta corta a un plano, la distancia de un punto a un plano y el ángulo entre dos planos, con productos escalares y ecuaciones.
- Vectores en demostraciones y problemasHalla el punto de equilibrio de puntos con pesos, haz una demostración geométrica con vectores (el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo) y resuelve problemas de velocidad y de paralelogramos dibujando vectores.
- Vectores en el plano: coordenadas, módulo y producto escalarHalla las coordenadas y el módulo de un vector, el producto escalar con coordenadas y con el ángulo, la condición de perpendicularidad y el ángulo entre dos vectores.
- El producto escalar de vectores: módulos, ángulo, coordenadasCalcula el producto escalar a partir de los módulos y del ángulo, eleva al cuadrado una suma de vectores, halla el coseno del ángulo entre vectores y el ángulo de un triángulo a partir de sus vértices.
- Vectores del espacio: suma, producto por un número, vectores proporcionales y coplanariosSuma vectores con la regla del paralelepípedo y con coordenadas, multiplica un vector por un número y busca cuándo tres vectores están en un mismo plano.
- Vectores en un prisma y en un cubo: iguales, sumas y paralelosDistingue vectores iguales, de igual sentido y de sentido opuesto en un prisma, suma vectores con la regla del triángulo, expresa un vector con otros y halla vectores paralelos a partir de sus coordenadas.
- Un vector como combinación de otros dosTodo vector del plano se construye con dos vectores que no están en una misma recta: p = xa + yb. Dibuja las partes en la cuadrícula, halla los coeficientes, escribe AM en un paralelogramo y calcula la longitud de una proyección.
- Posición relativa de rectas y planos en el espacioComprobar si un punto está en una recta, vector normal, posición relativa de dos rectas e intersección de una recta con un plano.
- Distancias en el espacioDistancia de un punto a un plano, pie de la perpendicular, planos paralelos y rectas que se cruzan.
Trigonometría
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- Razones trigonométricas en triángulos rectángulosAgranda y reduce un triángulo rectángulo con un ángulo de 35° y comprueba que los lados cambian, pero su cociente no. Después nombra el cateto opuesto, el cateto contiguo y la hipotenusa de cada ángulo y calcula un lado y un ángulo con una tabla de valores, sin calculadora.
- Valores exactos para 30°, 45° y 60°Divide por la mitad un triángulo equilátero y un cuadrado para descubrir los valores exactos del seno, del coseno y de la tangente de 30°, 45° y 60°, relaciona la tangente con la pendiente de una recta y resuelve una ecuación como sen x = 12.
- Ángulos de cualquier amplitud, circunferencia goniométrica y radianesGira un punto en la circunferencia goniométrica por ángulos mayores de 90°, incluso negativos, lee el seno y el coseno por la posición del punto, mide el ángulo en radianes y descubre valores exactos como sen7π6.
- Ángulos relacionados, arcos y sectoresRefleja un punto de la circunferencia goniométrica para ver cómo se relacionan el seno y el coseno de θ y de 180° − θ, usa el ángulo de referencia para hallar cos 120° y calcula la longitud de un arco y el área de un sector circular con el ángulo en radianes.
- Gráficas del seno y del coseno, periodo y amplitudLee las gráficas del seno y del coseno: dónde se anula el coseno, cómo cambian el periodo y el valor máximo en y = sen 2x y en y = 2senx + 1, y cómo se leen la secante y el arcoseno en las mismas curvas.
- Identidades trigonométricas y demostraciónUsa sen2θ + cos2θ = 1 y tgθ = senθcosθ para calcular una razón trigonométrica a partir de otra, encuentra la línea errónea de una «demostración» y aprende qué es demostrar una identidad.
- Ángulos suma, doble y tripleUsa las fórmulas de la suma con valores exactos para calcular sen 75° y trabaja con el ángulo doble.
- Ecuaciones trigonométricas: de segundo grado y sistemasResuelve ecuaciones trigonométricas hallando todos los ángulos de 0° a 360°: tg x = −1, ecuaciones de segundo grado en sen x o cos x (una necesita antes una identidad) y un sistema de dos ecuaciones en x e y.
- Teorema del seno, teorema del coseno y geometría en el espacioResuelve triángulos dibujados a escala con el teorema del seno y el teorema del coseno y usa triángulos rectángulos para calcular un ángulo en un ortoedro.
- Área del triángulo: seno, Herón y las circunferenciasCalcula el área de un triángulo a partir de dos lados y del ángulo que forman, o a partir de los tres lados con la fórmula de Herón. Después usa el área para hallar los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.
- La tangente: gráfica, dominio y periodoLee y = tg x: su signo en cada cuadrante, dónde no está definida, su periodo y las soluciones de tg x = 1.
- Paridad y reducción al primer cuadranteDescubre que el seno, la tangente y la cotangente son funciones impares y que el coseno es par; después usa la regla de reducción: cuándo la razón cambia de nombre y qué signo le toca.
- Propiedades de las funciones trigonométricasLee en sus gráficas las propiedades del seno, el coseno y la cotangente: período, paridad, ceros, intervalos de decrecimiento, dominio y recorrido.
- Soluciones generales de ecuaciones trigonométricasLa recta y = b corta la gráfica del seno, del coseno o de la tangente en infinitos puntos. Escribe todas las soluciones con una fórmula con k ∈ ℤ y, en una ecuación que se reduce a una de segundo grado, descarta la raíz que no puede darse.
- Seno, coseno y tangente de un ángulo de 0° a 180°Define el seno y el coseno con las coordenadas de un punto de la semicircunferencia unidad, halla los valores de los ángulos obtusos y usa sen²α + cos²α = 1.
- Resolución de triángulosResuelve un triángulo en cuatro casos: un lado y dos ángulos, dos lados y el ángulo que forman, tres lados, y dos lados con un ángulo opuesto a uno de ellos. Los triángulos rectángulos tienen su propio estudio.
- Consecuencias del teorema del cosenoEl tipo de un triángulo a partir del lado mayor (acutángulo, rectángulo u obtusángulo), la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo y un problema sobre los lados AB y BC.
- Cotangente, identidades y resolución de triángulos rectángulosAprende la cotangente y la identidad trigonométrica fundamental, resuelve triángulos rectángulos a partir de la hipotenusa y un ángulo o de los dos catetos, y resuelve problemas de la vida real. Sección: 4.º de ESO, triángulos rectángulos.
- Inecuaciones trigonométricas y elección de solucionesUsa la gráfica para ver dónde un seno o un coseno está por encima o por debajo de un número y elige las soluciones de una ecuación en un intervalo dado.
- f(x) = a · sen(b · (x + c)) + dCambia la amplitud, la línea media, el periodo y el desplazamiento de la sinusoide, lee bien el desplazamiento dentro del paréntesis y usa el modelo para una marea.
Estadística
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- Recoger datos, contar con rayitas, leer un pictogramaPregunta a la clase, cuenta con rayitas y construye un pictograma.
- Gráficos de barras y gráficos de líneasConstruye gráficos de barras y gráficos de líneas a partir de una tabla, léelos y elige el gráfico adecuado para cada pregunta.
- Recuento con rayitas, cálculos con rayitas y pictogramas de diezSepara y cuenta con rayitas, suma y quita con rayitas y dibuja un pictograma en el que un dibujo vale 10.
- Diagramas de sectores y mediaPinta y lee diagramas de sectores, nivela barras para encontrar la media y distingue datos numéricos de datos en palabras.
- Moda, mediana, media y rangoOrdena tarjetas de datos para hallar la mediana, lee la moda y el rango en un diagrama de puntos, mira cómo cambia la media cuando cambia un valor y elige la mejor medida.
- Valores atípicos y comparación de dos conjuntos de datosCompara los saltos de longitud de dos clases con una medida de centralización y el rango, arrastra un valor lejos de los demás y observa cómo reaccionan la media, la mediana y el rango. Después decide si un valor atípico es un error o es real.
- Datos agrupados en intervalos, histogramas y polígono de frecuenciassAgrupa alturas en intervalos de la misma amplitud, construye una tabla de frecuencias absolutas y relativas, dibuja un histograma de barras juntas y une las marcas de clase en un polígono de frecuencias.
- Media de datos agrupados y frecuencia acumuladaEstima la media de datos agrupados con una columna de marca de clase × frecuencia, combina bien las medias de dos clases, construye una columna y un gráfico de frecuencia acumulada y lee la mediana en el gráfico.
- Datos bivariantes y diagrama de dispersiónsMarca pares de datos, indica el tipo de datos, describe la correlación, arrastra una recta de regresión, haz predicciones con ella y distingue correlación de causa y efecto.
- población, muestra y recogida de datosToma muestras aleatorias de 10 y de 50 alumnos en un colegio de 600 y compáralas con el colegio entero. Descubre una muestra sesgada y elige el mejor modo de recoger datos para cada pregunta.
- Extra: desviación mediaMira la distancia de cada punto a la media, calcula la media de esas distancias, descubre por qué las diferencias con signo suman siempre cero y compara dos conjuntos de datos según su dispersión.
- Cuartiles y diagrama de cajaDivide datos ordenados en cuatro partes iguales, halla Q₁ y Q₃, marca los cinco números de un diagrama de caja y mide la mitad central de los datos con el rango intercuartílico.
- Varianza, desviación típica y coeficiente de variaciónMide la dispersión con los cuadrados de las distancias a la media: varianza, desviación típica y coeficiente de variación, para comparar dispersiones en unidades distintas.
- La forma de los datos y la curva normalLee la forma de un histograma (simétrica o asimétrica), ve cómo la asimetría separa la media de la mediana y usa la regla 68–95–99,7 para datos con forma de campana.
- Correlación y recta de regresiónLee la fuerza de una correlación a partir de r, calcula el punto medio, dibuja la recta de regresión con su pendiente y su ordenada en el origen y haz predicciones dentro de los datos.
- Diagramas de tallo y hojas y series temporalesEscribe datos en un diagrama de tallo y hojas y léelo; después dibuja una serie temporal como gráfico de líneas y suavízala con una media móvil.
- Intervalos de distinta amplitud y datos con dos variablesDibuja un histograma con intervalos de distinta amplitud usando la densidad de frecuencia, halla la frecuencia a partir de una barra y lee dos variables de las mismas personas en un solo gráfico.
- Umbral de pobreza, índice de precios e inflaciónHalla un umbral de pobreza a partir de la mediana de los ingresos, calcula un índice de precios y comprueba qué efecto tiene la inflación.
- Tendencia, interpolación y extrapolaciónLee el patrón y la tendencia de una serie temporal, estima un valor entre los datos (interpolación) y más allá de ellos (extrapolación).
- Recoger datos, escala y gráficos de líneasCuenta con marcas las respuestas de una encuesta, elige una buena escala para el eje de un gráfico y lee un gráfico de líneas con la temperatura de 12 meses.
- Porcentajes en estadística y en probabilidadEscribe el resultado de una encuesta en porcentaje, calcula el porcentaje a partir del ángulo de un sector, dibuja un diagrama de sectores en porcentajes y escribe una probabilidad en porcentaje.
- Tipos de variables, recogida de datos y estimaciónDistingue las variables cualitativas y cuantitativas, discretas y continuas, toma una muestra estratificada, encuentra la pregunta honesta de un cuestionario y aprende a estimar la media de una población a partir de una muestra.
- Tablas de datos: leer y rellenarLee una tabla sencilla, encuentra el valor mayor, calcula la diferencia y rellena una tabla a partir de los datos.
- Clasificar según un criterioClasifica objetos en grupos según el color y según la forma, cuenta cada grupo y descubre el mayor.
- Horarios: clases y trenesLee horarios de clase y de tren: cuándo termina una clase, cuánto dura un recreo o un viaje y qué tren hay que coger.
- Contraste de hipótesis simple, covarianza y mínimos cuadradosDecide cuántas caras hacen poco creíble que una moneda sea equilibrada, calcula la covarianza y el coeficiente de correlación de cinco puntos y encuentra la recta con la menor suma de los cuadrados de los errores.
- Características comunes y clasificaciónDescubre la característica común de un conjunto, ordena figuras en grupos según dos criterios a la vez y encuentra la figura que no pertenece.
- Leer los datos con espíritu críticoComparar grupos, reconocer la paradoja de Simpson, valorar una muestra, distinguir porcentaje de puntos porcentuales y correlación de causa.
- Frecuencia absoluta y frecuencia relativaHaz una tabla de recuento de una encuesta, calcula frecuencias relativas en fracción, decimal y porcentaje, y compara grupos de distinto tamaño.
- Gráficos engañososDescubre gráficos que dan una idea equivocada, como un eje cortado o dibujos de distinto tamaño, dibújalos con honestidad y elige titulares que los datos respalden.
- Gráficos y muestras que engañanMira cómo un eje cortado cambia un gráfico, elige el gráfico adecuado para una afirmación, decide si una muestra es representativa y descubre que la misma media puede esconder dispersiones muy distintas.
- Distribución normal y regla de las desviaciones típicasAjusta μ y σ de la campana de Gauss y usa la regla de las desviaciones típicas: 68,3 %, 95,4 % y 99,7 %.
Probabilidad
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- Azar: suceso seguro, posible, suceso imposibleSaca fichas de una bolsa, gira una ruleta y lanza un dado. Di si cada suceso es seguro, posible o imposible.
- probabilidad experimental y probabilidad teórica (regla de Laplace)Haz girar una ruleta, lanza una chapa de botella y tira dados: 10 veces, 100 veces, 1 000 veces. Comprueba cómo la frecuencia relativa se acerca a la probabilidad.
- espacio muestral, experimentos compuestos y suceso contrarioEscribe todos los resultados de una moneda con una ruleta, de dos monedas y de dos dados. Encuentra los casos favorables en una tabla de seis por seis y calcula la probabilidad de que algo no ocurra a partir de la probabilidad de que ocurra.
- Diagramas de Venn, sucesos y tablas de doble entradaOrganiza una clase de 30 alumnos según practiquen fútbol y ciclismo en un diagrama de Venn, pasa los mismos datos a una tabla de doble entrada y vuelve atrás, mira los sucesos como conjuntos y calcula probabilidades de «o» con la regla de la suma.
- Diagramas de árbol, principio de multiplicación y sucesos independientesHaz crecer árboles para contar conjuntos de ropa y clasificaciones, escribe las probabilidades en las ramas, multiplica a lo largo de un camino, suma los caminos y mira qué cambia cuando no se devuelve la bola.
- Reglas de la probabilidad, resultados continuos y valor esperadoSuma las probabilidades de resultados que no pueden ocurrir a la vez, descubre qué listas pueden ser probabilidades, calcula una probabilidad como parte de una longitud y prevé cuántas veces ocurre algo.
- Probabilidad condicionadaUsa una tabla, un diagrama de Venn y un diagrama de árbol para calcular la probabilidad de un suceso cuando ya sabes que ha ocurrido otro, mira por qué importa el orden del «sabiendo que» y conoce los sucesos dependientes.
- Sucesos independientes y probabilidad totalComprueba con una tabla si dos sucesos son independientes, descubre por qué los sucesos que no pueden ocurrir a la vez no son independientes y suma los caminos de un árbol para calcular la probabilidad de un resultado que puede darse de varias formas.
- Variables aleatorias y esperanzaAsigna un número a cada resultado de dos dados, halla la probabilidad de los valores de ese número, calcula la media de un dado y decide cuánto vale un juego por lanzamiento.
- Resultados con distinta probabilidad y fórmula de BayesDa a cada resultado su peso y súmalos. Después lee un árbol al revés: aparece un tornillo defectuoso, ¿qué máquina lo ha fabricado?
- Distribución binomial y distribución de PoissonCuenta los caminos de un diagrama de árbol que dan exactamente k éxitos, descubre de dónde sale la fórmula de la distribución binomial y usa la fórmula de Poisson para sucesos que ocurren al azar.
- La distribución normal y los valores zMarca en una recta numérica distancias a la media en desviaciones típicas, usa la regla 68–95–99,7, calcula un valor z y averigua la probabilidad en una cola.
- Medias muestrales, proporciones muestrales y teorema central del límiteDescubre que las medias de las muestras están mucho menos dispersas que los valores sueltos, calcula el error típico de una media y de una proporción y usa el teorema central del límite para hallar una probabilidad.
- Varianza, distribución geométrica y desigualdad de ChebyshevCalcula una varianza a partir de una tabla de distribución, halla la varianza de una suma de variables independientes, calcula la probabilidad de «hasta el primer éxito» y acota una desviación con la desigualdad de Chebyshev.
- Probabilidad geométrica, densidad y variables continuasCalcula la probabilidad de que un punto al azar caiga en una parte de una figura, un segmento o un arco como cociente de medidas, entiende qué es una densidad y conoce las distribuciones uniforme y exponencial.
- Probabilidad y combinatoriaCalcula la probabilidad de un suceso con la regla de Laplace, P(A) = casos favorables : casos posibles, contando los casos con números combinatorios y con variaciones.
- Estimar π con puntos al azar y con tirasCuenta puntos al azar en un cuarto de círculo para estimar π, mira cómo se reduce la dispersión con más puntos y compara con el método de las tiras.
- Contraste de hipótesis unilateralEscribe H₀, encuentra la región crítica con un nivel de significación del 5 %, valora el error de tipo I y lee bien el resultado.
Conjuntos y lógica
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- Conjuntos: elementos, subconjuntos, unión, intersección y complementarioClasifica tarjetas con números en los óvalos de un diagrama de Venn, escribe conjuntos entre llaves, sombrea uniones, intersecciones y diferencias, y cuenta con el diagrama.
- Variaciones y grupos: permutaciones y combinacionesHaz crecer el árbol de las variaciones para contar quién puede ganar el oro y la plata, coloca amigos en fila y descubre por qué un grupo de personas se cuenta menos veces que una variación.
- El binomio de Newton y el triángulo de PascalMira (a + b)³ como tres paréntesis y cuenta los caminos que dan cada término, lee los coeficientes en el triángulo de Pascal y úsalos en desarrollos con números.
- Contar sin contar dos veces y el principio del palomarCuenta los alumnos de dos clubes sin contar dos veces a los que están en ambos, cuenta los múltiplos de 2 o de 3 y usa el principio del palomar para estar seguro de que dos cosas comparten caja.
- Enunciados abiertos, subconjuntos y leyes de los conjuntosDistingue proposiciones de enunciados abiertos, forma el conjunto solución de un enunciado abierto, cuenta subconjuntos y comprueba las propiedades distributiva y de absorción en un diagrama de Venn.
- Proposiciones, y, o, no y si… entoncesDecide qué frases son proposiciones, usa bien «y», «o» y «no», comprueba una promesa «si … entonces …» y encuentra el contrarrecíproco.
- Cuantificadores, razonamientos válidos y leyes de De MorganNiega «todos», dibuja «todo múltiplo de 6 es múltiplo de 3», distingue razonamientos válidos de los que no lo son y usa las leyes de De Morgan con conjuntos.
- Demostración: directa, por casos, por reducción al absurdo y por inducciónDemuestra con álgebra que la suma de dos impares es par, comprueba una afirmación dividiéndola en casos, demuestra por reducción al absurdo que no hay un número par máximo y haz el paso de inducción para los números impares.
- Pares ordenados, relaciones y equivalenciaMarca A × B como puntos, separa una relación, dale la vuelta para obtener la relación inversa y descubre por qué «mismo resto» es una relación de equivalencia.
- Recuento con repeticiones: filas, grupos y estrellas y barrasAlinea canicas del mismo color, cuenta códigos con cifras repetidas, reparte alumnos en habitaciones y cuenta ramos de flores con estrellas y barras.
- Notación de conjuntos por comprensión y emparejar conjuntos infinitosConoce ℕ, ℤ, ℚ y ℝ, escribe los elementos de un conjunto a partir de su condición, escribe la condición de un conjunto y descubre por qué los pares y los naturales «tienen el mismo tamaño».
- Números combinatorios, triángulo de Pascal y demostración por recuentoSepara grupos de amigos en dos clases, demuestra la regla de Pascal contando y descubre por qué cada fila suma una potencia de 2.
- Grafos: vértices, aristas y gradoLee un grafo: halla el grado de cada vértice, compara la suma de los grados con el número de aristas y descubre por qué algunos grafos no pueden existir.
- Grafos: conjuntos dominantesColoca estaciones de modo que todos los puntos del mapa queden cubiertos y encuentra el menor número posible: el número de dominación del grafo.
- Regla de la suma, regla del producto, permutaciones, variaciones y combinacionesDistingue la regla de la suma de la regla del producto, usa las fórmulas de las permutaciones, las variaciones y las combinaciones y resuelve una ecuación con factoriales.
- Problemas de recuento: listas, diagrama de árbol y principio de multiplicaciónEncuentra todas las formas de colocar a tres chicas en las plantas, haz crecer un diagrama de árbol y descubre por qué el número de formas se halla multiplicando.
- La regla de la suma y la regla del producto¿De cuántas formas podemos elegir «a o b» y «a y b»? La regla de la suma, la regla del producto, los pares (a, b), un esquema de carreteras y problemas con cifras.
- Verdadero o falsoLee frases sobre la fruta con las palabras «todas», «cada» y «algunas» y decide si son verdaderas.
- Si ..., entonces ...Tacha números con ayuda de pistas, saca conclusiones de reglas «si ..., entonces ...» y construye cadenas de razonamiento.
- Grafos dirigidos y problemas que se resuelven con grafosLee grafos dirigidos, cuenta los apretones de manos y los partidos de una liga, y halla la ruta más corta convirtiendo el problema en un grafo.
- Conexión, caminos, ciclos y dibujar un grafo sin levantar el lápizCuenta las componentes conexas, halla los vértices de grado impar y decide si un grafo se puede dibujar sin levantar el lápiz.
- Condiciones necesarias y condiciones suficientesDistingue cuándo una condición es necesaria, cuándo es suficiente y cuándo es las dos cosas, y refuta una afirmación falsa con un contraejemplo.
- Árboles y grafos planosReconoce árboles, cuenta las aristas de un árbol y de un árbol generador, y cuenta las caras de un grafo plano con la fórmula de Euler.
Números complejos
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- Números complejos: i, sumar, multiplicar y dividirConoce el número i, con i² = −1, suma números complejos como puntos del plano, multiplícalos como paréntesis y divídelos con el conjugado.
- Ecuaciones de segundo grado y polinomios con raíces complejasMira por qué x² + 4x + 13 = 0 no tiene soluciones reales, resuelve ecuaciones de soluciones complejas, márcalas en el plano y encuentra la raíz que falta de un polinomio de tercer grado.
- El plano complejo: módulo, argumento y giroLee números complejos como puntos del plano complejo, halla el módulo y el argumento, refléjalos en el eje real y multiplica por giro y ampliación.
- Potencias, raíces y circunferencias en el plano complejoUsa e^{iθ} como punto de la circunferencia unidad, calcula potencias con la fórmula de De Moivre, halla las cuatro raíces de un número y dibuja una circunferencia con |z − c| = r.
Matrices
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- Matrices: dimensión, elementos y tipos especialesLee una matriz como una tabla: encuentra un elemento por su fila y su columna, indica la dimensión y construye la matriz nula, la matriz identidad y una matriz diagonal.
- Suma, producto por un número, producto y traspuesta de matricesSuma y resta matrices de la misma dimensión, multiplica por un escalar, multiplica filas por columnas y convierte las filas en columnas.
- DeterminantesCalcula determinantes de 2 × 2 y de 3 × 3, descubre qué hace el intercambio de dos filas y cómo el determinante multiplica las áreas.
- Matrices inversas y resolución de sistemasHalla la inversa de una matriz 2 × 2 con el determinante, halla una inversa 3 × 3 con operaciones entre filas y resuelve un sistema con ella.
- Regla de Cramer y método de GaussResuelve un sistema con determinantes (Cramer), después con operaciones entre filas (Gauss), y mira cómo un determinante nulo da rectas paralelas.
- Las matrices como transformacionesUna matriz mueve los puntos del plano: aplícala a un punto, constrúyela a partir de las imágenes de i y j y busca los puntos que deja en su sitio.
Cálculo infinitesimal
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- Límites: acercarse a un númeroRellena una tabla de valores cerca de un punto donde la función no está definida, lee el límite en la gráfica y descubre por qué los límites laterales tienen que ser iguales.
- Cálculo de límites: leyes, 0 entre 0 y senoCalcula límites de sumas y productos a partir de gráficas, resuelve la indeterminación 0 entre 0 factorizando y simplificando, y conoce el límite notable del seno.
- Límites infinitos y límites en el infinitoDescubre por qué 1x2 crece sin parar cerca de cero, traza una asíntota horizontal y resuelve las indeterminaciones ∞ : ∞ e ∞ − ∞.
- Continuidad y tasa de variaciónDescubre cuándo se puede dibujar una gráfica sin levantar el lápiz, halla el k que hace continua una función y acerca una tasa de variación media a una tasa de variación instantánea.
- De la secante a la tangente: qué es la derivadaDesliza un punto Q a lo largo de la gráfica hacia P, mira en una tabla cómo la pendiente de la secante se acerca a la pendiente de la tangente, dibuja la tangente y entiende por qué un pico no tiene derivada.
- Las reglas de derivaciónPrueba las reglas de la derivada de una potencia, de un producto y de un cociente con un número en un punto, y compruébalas con rectas tangentes en una gráfica.
- Derivadas del seno, de la exponencial, del logaritmo y de las funciones inversasComprueba la derivada de sen x cerca de cero, dibuja la tangente a ex, usa ln x como imagen especular de ex para hallar su derivada y lleva la regla de la función inversa hasta la arctg.
- Derivada implícita, paramétrica, de segundo orden y razones de cambio relacionadasHalla la pendiente de una circunferencia en un punto por derivación implícita, calcula la pendiente de una curva paramétrica, deriva dos veces y mira cómo el lado que varía hace variar el área.
- Recta tangente y máximo y mínimo absolutos en un intervaloEscribe la ecuación de la recta tangente con y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), halla una tangente paralela a una recta dada y otra que pase por un punto exterior a la curva, y después calcula el máximo y el mínimo de una función en [a,b].
- El signo de la derivada y la forma de la gráficaUsa el signo de f′(x) para saber dónde una gráfica sube y baja y para marcar los puntos donde la derivada vale cero.
- Rolle, L'Hôpital y series de MaclaurinDescubre dónde la tangente es horizontal, halla el punto del teorema del valor medio, calcula un límite del tipo 0/0 con derivadas y determina un coeficiente de la serie de Maclaurin de cosh x.
- Cálculo de áreas, sumas de Riemann y regla de los trapeciosEstima el área bajo y = x² con rectángulos finos y con trapecios, y comprueba hacia qué número se acercan las estimaciones cuando las franjas se estrechan.
- De la primitiva a la integral definidaHalla una primitiva y mira por qué hace falta +C, calcula una integral definida con F(b) − F(a), halla el valor medio de una función y conoce la primitiva de 1x.
- Métodos de integraciónCambia la variable y los límites a la vez, integra por partes, descompón una fracción en fracciones simples, elige un cambio trigonométrico y decide si una integral impropia tiene valor.
- Áreas, volúmenes y longitudes de arco con integralesUsa la integral definida para calcular el área bajo una curva y entre dos curvas, y un volumen de revolución.
- Ecuaciones diferencialesEscribe una tasa de variación como ecuación diferencial, halla la solución y = Cekx en una gráfica y resuelve una ecuación de variables separadas con una condición inicial.
- Representación de gráficas y optimizaciónUsa el máximo de una función para resolver problemas como el de la mayor área y el del mayor volumen.
- Plan de estudio para dibujar una gráficaEstudia una función siguiendo un plan: dominio, paridad, ceros, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos; después marca los puntos clave de la gráfica.
- El esquema de monotoníaA partir de los signos de la derivada en cada intervalo, marca con flechas dónde la función crece ↗ y dónde decrece ↘, y halla los extremos.
- De la gráfica de f a la gráfica de f′Descubre dónde se anula f′, lee f′ a partir de la gráfica de f, localiza el punto de inflexión como extremo de f′ y el momento de mayor crecimiento.
- Función integral y teorema fundamentalHaz el balance de las áreas hasta x, busca los extremos de la función integral y calcula con J(x) = F(x) − F(a).
Resolución de problemas
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- Resolver un problema: hacer un esquemaLee el problema. Di qué sabes y qué se pide. Haz un esquema y resuelve.
- Resolver un problema: escribir una igualdadConvierte una historia en una igualdad. Pon un cuadrado □ en el lugar del número que no conoces y después averígualo.
- Resolución de problemas: esquema, regularidad, eliminación, tanteoCuatro maneras de resolver un problema: escribir todos los casos por orden, descubrir la regularidad, tachar lo imposible, y probar, comprobar y corregir.
- Resolución de problemas: subproblemas, casos más sencillos y listas ordenadasDivide un problema grande en pasos, resuelve antes una versión más sencilla, haz la lista de todos los casos en orden y elige tú la estrategia.
- resolución de problemas: estrategias de ESOPractica la lista ordenada, los problemas por etapas y el problema más sencillo, con problemas de dinero y números más grandes.
- resolución de problemas: beneficio y datos suficientesCalcula el beneficio de una tienda con una tabla y decide qué datos necesita un problema, cuáles sobran o cuándo falta uno.
- Problema: registro breve y soluciónEscribe los datos de forma breve, plantea una igualdad, resuelve el problema en uno o dos pasos y escribe la respuesta.
- Problemas: veces más, cuántos más y problema inversoMultiplica un número varias veces, compara con «cuántas veces», resuelve problemas en forma indirecta y problemas inversos.
- Problemas con tabla: precio, cantidad, costeEscribe los datos en una tabla de «precio, cantidad, coste» y resuelve problemas sobre la suma, la diferencia y la razón de dos productos.
- Problemas de varias operacionesDistingue los problemas de una operación de los de varias operaciones y escribe la solución paso a paso y como una sola expresión con paréntesis.
- Problemas de varias operaciones con multiplicación y divisiónResuelve problemas de varias operaciones: lo que queda, sumas y diferencias de productos, y «tantas veces más» o «tantas veces menos».
- Compara los problemas: ¿qué ha cambiado?Compara dos problemas relacionados, prevé cómo cambia la solución y resuelve el problema modificado.
- Datos, solución y respuestaEscribe un problema como se escribe en el cuaderno: Datos, Se pide, Solución (con preguntas, paso a paso o como una sola expresión) y Respuesta.
- Problemas de lógicaResuelve problemas de razonamiento: rellena una tabla a partir de pistas, descubre quién es caballero y quién es mentiroso, pasa agua de un cubo a otro y averigua quién es el culpable.
- Instrucciones y algoritmosSigue instrucciones paso a paso, usa una máquina de algoritmos y ordena los pasos de un plan.
- Consumo y cambioResuelve problemas de consumo diario («por día × días») y de cambio («antes − después») paso a paso y escribe la respuesta.
- Problemas de Fermi: ¿estimar o calcular con exactitud?Estima números grandes por pasos con medidas de referencia, redondea para una estimación rápida y decide cuándo hace falta una respuesta exacta.