Integrationsmethoden
Substituiere und passe die Grenzen mit an, integriere partiell, zerlege Brüche in Partialbrüche, wähle eine trigonometrische Substitution und entscheide, ob ein uneigentliches Integral einen Wert hat.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 12
- Frankreich: Klasse 12
- Italien: Klasse 11
- Spanien: Klasse 12
- Großbritannien: Year 12
- Russland: Klasse 11
- Iran: Klasse 12
- Afghanistan: Klasse 12
- Palästina: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt dieses Thema nur ansatzweise vor: In der Jahrgangsstufe 12 wird die lineare Substitution F(ax + b) behandelt, partielle Integration, Partialbruchzerlegung und trigonometrische Substitution gehören nicht zum Pflichtprogramm. Die Aufgaben hier sind eine Vertiefung, zum Beispiel für ein Studium oder einen Leistungskurs.
Integration durch Substitution: Bezeichne den inneren Teil mit u, ersetze dx mithilfe von du und rechne bei einem bestimmten Integral auch die Grenzen in u-Werte um. Dann musst du nie zu x zurückkehren.
partielle Integration: ∫udv = uv − ∫vdu. Wähle als u den Teil, der beim Ableiten einfacher wird (x), und als dv den Teil, den du integrieren kannst (eˣ dx). Partialbruchzerlegung: Ein Bruch mit zerlegtem Nenner wird in einfache Brüche zerlegt, die man leicht integriert.
Bei √(1 − x²) macht die Substitution x = sin θ aus der Wurzel cos θ. Ein uneigentliches Integral hat eine unendliche Grenze (oder einen unendlichen Funktionswert): Es ist ein Grenzwert und kann gegen eine Zahl konvergieren oder divergieren.