Integralfunktion und Hauptsatz
Bilanziere Flächen bis zur Stelle x, finde Extrema der Integralfunktion und rechne mit J(x) = F(x) − F(a).
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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Hinweise für Erwachsene
Die Integralfunktion J_a(x) = ∫ₐˣ f(t) dt gibt die Flächenbilanz zwischen a und x an: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ. Der Flächeninhalt ist dagegen immer positiv.
Hauptsatz: J_a′(x) = f(x). Wo f positiv ist, wächst J, wo f negativ ist, fällt J. Hat f einen Vorzeichenwechsel von + nach −, hat J dort ein Maximum; hat f ein Extremum, hat J einen Wendepunkt.
Mit einer Stammfunktion F gilt J_a(x) = F(x) − F(a). Als Sachaufgabe: Ist f die Zuflussrate, so ist J die Änderung der Füllmenge; die Anfangsmenge kommt dazu.