Das Skalarprodukt: Beträge, Winkel, Koordinaten
Berechne das Skalarprodukt aus den Beträgen und dem Winkel, quadriere eine Summe von Vektoren, bestimme den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren und den Winkel eines Dreiecks aus seinen Eckpunkten.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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Hinweise für Erwachsene
Das Skalarprodukt lernt dein Kind im bayerischen Lehrplan in der Ebene in der 10. Klasse und im Raum in der 12. Jahrgangsstufe kennen. Der Winkel zwischen zwei Vektoren a und b, die vom selben Punkt O ausgehen, ist der Winkel AOB mit OA = a und OB = b. Er liegt zwischen 0° und 180°. Die Vektoren sind orthogonal, wenn der Winkel 90° beträgt.
Das Skalarprodukt ist das Produkt der Beträge und des Kosinus des eingeschlossenen Winkels φ: a ∘ b = |a| · |b| · cos φ. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist a ∘ a = |a|². Zwei Vektoren (ungleich dem Nullvektor) sind genau dann orthogonal, wenn a ∘ b = 0 gilt.
Mit Koordinaten gilt a⃗∘b⃗ = a1b1 + a2b2 + a3b3. Daraus folgt cosφ = (a1b1 + a2b2 + a3b3)/(√(a12 + a22 + a32)·√(b12 + b22 + b32)).
Das Skalarprodukt ist kommutativ, es gilt (k·a⃗)∘b⃗ = k·(a⃗∘b⃗) und das Distributivgesetz. Damit ergibt sich die binomische Formel für Vektoren: (a⃗ + b⃗)2 = a⃗2 + 2·a⃗∘b⃗ + b⃗2.