Vektoren addieren, vervielfachen und Einheitsvektoren

Im bayerischen Lehrplan stehen Vektoren als Verschiebungen in Klasse 7 (Parallelverschiebung: Spaltenvektor, Gegenvektor, Vektoraddition, Koordinaten von Punkten und Eckpunkten von Parallelogrammen); Vielfache von Vektoren und Rechnen mit Vektoren in der Geometrie folgen in der Oberstufe. Die Schreibweise mit i und j ist eine Vertiefung.

Um zwei Vektoren zu addieren, hängt man sie aneinander: Der zweite beginnt dort, wo der erste endet. a⃗ + b⃗ ist der Pfeil vom Anfang von a⃗ zur Spitze von b⃗. Mit Zahlen addierst du die oberen und die unteren Einträge: (3 | 1) + (1 | 3) = (4 | 4). Beginnen a⃗ und b⃗ im selben Punkt, ist a⃗ + b⃗ die Diagonale des Parallelogramms, das sie aufspannen.

a⃗ − b⃗ bedeutet a⃗ + (−b⃗): Der Gegenvektor −b⃗ ist b⃗ mit gleicher Länge in die entgegengesetzte Richtung. Mit Zahlen subtrahierst du die oberen und die unteren Einträge.

2a⃗ ist a⃗ auf die doppelte Länge gestreckt, in dieselbe Richtung: Beide Einträge verdoppeln sich. −12a⃗ ist halb so lang und zeigt in die Gegenrichtung: Beide Einträge werden mit −12 multipliziert. Die Zahl davor heißt Skalar.

i⃗ = (1 | 0) ist ein Schritt nach rechts und j⃗ = (0 | 1) ein Schritt nach oben: die Einheitsvektoren. Jeder Vektor ist eine Anzahl von i⃗ plus eine Anzahl von j⃗: (3 | −2) = 3i⃗ − 2j⃗. Achtung: Die Länge von a⃗ + b⃗ ist meist kleiner als die Länge von a⃗ plus die Länge von b⃗, weil der gerade Weg kürzer ist als der Umweg.