Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
Sinus und Kosinus an den Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis ablesen, Werte für stumpfe Winkel finden, Vorzeichen in allen vier Quadranten bestimmen und Winkel zu einem gegebenen Sinuswert angeben. Dazu gehört sin²α + cos²α = 1.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan (Klasse 9, Gymnasium, Kapitel «Sinus- und Kosinussatz») werden Sinus und Kosinus von Winkeln zwischen 0° und 360° am Einheitskreis veranschaulicht. Der Einheitskreis hat den Mittelpunkt im Koordinatenursprung und den Radius 1. Die ersten Aufgaben hier betrachten nur den oberen Halbkreis (0° bis 180°), die letzten den ganzen Kreis.
Der Punkt P mit den Koordinaten (x|y) liege auf dem Einheitskreis, und α sei der Winkel zwischen dem Strahl OP und der positiven x-Achse, gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Dann gilt cosα = x, sinα = y und für α ≠ 90° außerdem tanα = yx.
Daraus folgt sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0 und cos 180° = −1. Für jeden Winkel gilt −1 ≤ sinα ≤ 1 und −1 ≤ cosα ≤ 1.
Für einen stumpfen Winkel ist die x-Koordinate negativ, der Kosinus also negativ und der Sinus positiv. Es gilt sin(180° − α) = sinα, cos(180° − α) = −cosα und sin2α + cos2α = 1. Im dritten Quadranten (180° bis 270°) sind Sinus und Kosinus negativ, im vierten (270° bis 360°) ist der Sinus negativ und der Kosinus positiv. Zu einem Sinuswert gehören im Bereich von 0° bis 360° meist zwei Winkel.
Ein Kästchen im Koordinatensystem entspricht 0,2.