Symmetrie und Rückführung auf spitze Winkel
Entdecke, dass der Sinus punktsymmetrisch und der Kosinus achsensymmetrisch ist. Führe dann Winkel wie π + α oder π/2 + α auf einen spitzen Winkel zurück: Wann wechselt die Funktion, und welches Vorzeichen bekommt sie?
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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- Frankreich: Klasse 11
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- Russland: Klasse 10
- Ukraine: Klasse 10
Hinweise für Erwachsene
Die Symmetrie von Sinus und Kosinus und die Rückführung von Winkeln auf den 1. Quadranten gehören im bayerischen Lehrplan zur 10. Jahrgangsstufe (Einheitskreis und Bogenmaß). Winkel stehen hier im Bogenmaß ohne Einheit, also zum Beispiel π/6 statt 30°. Ein Taschenrechner im Modus RAD hilft bei der Probe.
Für jeden Winkel α gilt: sin (−α) = −sinα, tan (−α) = −tanα und cos (−α) = cosα. Der Kosinus ist also achsensymmetrisch zur y-Achse, Sinus und Tangens sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
Die Beziehungen für π/2±α, π±α, 3π/2±α und 2π − α folgen einer Regel. Schritt 1: Bei π oder 2π bleibt die Funktion gleich. Bei π/2 oder 3π/2 wechselt sie (Sinus wird Kosinus und umgekehrt). Schritt 2: Das Vorzeichen bestimmt man aus dem Quadranten, in dem der Winkel liegt, und der ursprünglichen Funktion. Dabei denkt man sich α als spitzen Winkel.
Häufige Fehler: den Funktionswechsel bei π/2 und 3π/2 vergessen, das Vorzeichen des Ergebnisses statt das der ursprünglichen Funktion nehmen, oder glauben, der Sinus sei achsensymmetrisch.