Trigonometrische Beziehungen und Beweise
Berechne mit sin2θ + cos2θ = 1 und tanθ = sinθcosθ eine Größe aus einer anderen, finde die falsche Zeile in einem „Beweis“ und lerne, was ein Beweis einer allgemeingültige Gleichung ist.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 10
- Portugal: Klasse 11
- Italien: Klasse 11
- Spanien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 12
- Russland: Klasse 10
- Ukraine: Klasse 8
- Iran: Klasse 10
- Afghanistan: Klasse 11
- Syrien: Klasse 9
- Palästina: Klasse 9
Hinweise für Erwachsene
Die Beziehungen sin²α + cos²α = 1 (trigonometrischer Pythagoras) und tan α = sin α / cos α gehören in Bayern zur 10. Jahrgangsstufe, am Einheitskreis hergeleitet. Im Bild steht ein Kreis mit dem Radius 3 Kästchen für den Radius 1, und P liegt bei (cosθ|sinθ) = (0,6|0,8): Es ist das 3-4-5-Dreieck.
Eine allgemeingültige Gleichung stimmt für jeden Winkel, für den beide Seiten definiert sind. Die wichtigsten sind sin2θ + cos2θ = 1 (Satz des Pythagoras im Dreieck mit der Hypotenuse 1) und tanθ = sinθcosθ. Teilt man die erste durch cos2θ, erhält man 1 + tan2θ = 1cos2θ.
Um eine solche Gleichung zu beweisen, formt man nur eine Seite (meist die kompliziertere) mit immer gültigen Schritten um, bis die andere Seite dasteht. Ein einzelner Winkel ist kein Beweis, und auch der Start bei der Behauptung nicht. In den Aufgaben heißt der Winkel θ.