Trigonometrische Gleichungen: quadratisch und mit zwei Unbekannten
Löse trigonometrische Gleichungen, indem du alle Winkel von 0° bis 360° findest: tan x = −1, quadratische Gleichungen in sin x oder cos x (eine braucht erst eine Umformung mit sin² x + cos² x = 1), eine Gleichung im Bogenmaß und ein Gleichungssystem mit x und y.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 10
- Portugal: Klasse 11
- Italien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 12
- Russland: Klasse 10
- Ukraine: Klasse 10
- Iran: Klasse 12
- Afghanistan: Klasse 11
- Palästina: Klasse 10
Hinweise für Erwachsene
Einfache trigonometrische Gleichungen wie sin x = 0,5 löst man im bayerischen Lehrplan in der 10. Jahrgangsstufe, zuerst im Gradmaß, später im Bogenmaß (ohne Einheit, zum Beispiel 2π/3). Quadratische Gleichungen in sin x oder cos x und Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten gehören zur Vertiefung. Für jede Lösung zwischen 0° und 360° setzt dein Kind einen Punkt auf die Zahlengerade. Sie ist alle 45° beschriftet, und die Punkte rasten alle 15° ein.
Zuerst bestimmt man aus dem Wert den Bezugswinkel und prüft dann die Quadranten: Der Sinus ist im 1. und 2. Quadranten positiv, der Kosinus im 1. und 4. Quadranten und der Tangens im 1. und 3. Quadranten. Beim Tangens wiederholen sich die Lösungen alle 180°, beim Sinus und Kosinus alle 360°. Die Lösungsmenge schreibt man zum Beispiel als L = {135°; 315°}.
Eine quadratische Gleichung in sin x oder cos x faktorisiert man wie jede quadratische Gleichung, am besten mit der Substitution t = sin x: 2sin2x − sin x − 1 = (2sinx + 1)(sin x − 1). Kommen sin x und cos x zugleich vor, hilft sin2x = 1 − cos2x, damit nur eine der beiden übrig bleibt.
Bei einem Gleichungssystem entfernt man mit der einfacheren Gleichung eine Unbekannte (hier y = 90° − x), löst nach der anderen auf und berechnet dann die erste. Jede Lösung prüft man in beiden Gleichungen (Probe).
Bei den Aufgaben im Bogenmaß steht eine Teilung der Geraden für π/6. Mit dem Taschenrechner (Modus RAD) findet man cos⁻¹(−0,8) ≈ 2,498. Die zweite Lösung ist 2π − 2,498 ≈ 3,785.