Folgen, allgemeines Glied und Rekursion
Berechne mit der Schreibweise a_n die Glieder einer Folge, bilde eine Folge aus einer Rekursionsgleichung, erkenne periodische Folgen und zähle Dreieckszahlen.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Frankreich: Klasse 11
- Portugal: Klasse 7
- Italien: Klasse 11
- Spanien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 12
- Russland: Klasse 9
- Ukraine: Klasse 9
- Iran: Klasse 10
- Afghanistan: Klasse 11
- Syrien: Klasse 11
- Palästina: Klasse 11
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt dieses Thema nur in Ansätzen vor: Zahlenfolgen und Muster erforschen die Kinder in der Grundschule und in Klasse 5. Die Schreibweise a_n, die Rekursion und die Dreieckszahlen gehen darüber hinaus. Das Studio ist eine Vertiefung.
Eine Folge ist eine Liste von Zahlen: a_1 ist das erste Glied, a_2 das zweite und a_n das n-te Glied. Ist an = 3n − 2, setzen wir für n die Nummer des Gliedes ein: a4 = 3·4 − 2 = 10.
Manchmal wird jedes Glied aus dem vorigen gebildet. Das ist eine Rekursion: a1 = 2 und an + 1 = 3an − 1 heißt, dass das nächste Glied das Dreifache des aktuellen minus 1 ist. Wir bilden die Glieder eins nach dem anderen.
Werden die Glieder immer größer, ist die Folge streng monoton steigend, werden sie immer kleiner, streng monoton fallend. Eine Folge, die dieselben Zahlen immer wieder wiederholt, ist periodisch: 5; –5; 5; –5; …
Die Dreieckszahlen 1; 3; 6; 10; … entstehen durch 1 + 2 + 3 + …. Die Fibonacci-Folge 1; 1; 2; 3; 5; 8; … bildet jedes Glied aus der Summe der beiden vorigen. Typische Fehler: das Vorzeichen der Konstanten verwechseln, einen Schritt der Rekursion auslassen, gerade und ungerade Glieder vertauschen und Dreieckszahlen mit Quadratzahlen verwechseln.