Besondere Summen, Differenzen und Modellieren
Bilde die Summe der Quadratzahlen, berechne eine Teleskopsumme, finde den Term einer quadratischen Zahlenfolge und löse eine Sachaufgabe mit einer arithmetischen Reihe.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Portugal: Klasse 11
- Italien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 12
- Iran: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt dieses Thema nicht vor: Zahlenfolgen werden in der Grundschule und in Klasse 5 nur als Zahlenmuster fortgesetzt, Summenformeln für Folgen stehen nicht im Lehrplan. Die Aufgaben sind eine Vertiefung für Neugierige ab etwa Klasse 10.
Summe der Quadratzahlen: Σk2 = n(n + 1)2n + 16 für k von 1 bis n. Die Summe der natürlichen Zahlen ist nn + 12, und die Summe der Kubikzahlen ist deren Quadrat. Diese Formeln kürzen lange Summen ab.
Teleskopsumme: Lässt sich jeder Summand als «Differenz zweier Brüche» schreiben, heben sich die mittleren Glieder auf. Zum Beispiel 1k(k + 1) = 1k − 1k + 1.
In einer quadratischen Zahlenfolge sind die ersten Differenzen nicht konstant, die zweiten Differenzen aber schon. Der Term der Folge ist an2 + bn + c, und die zweite Differenz ist 2a.
Modellieren: Entscheide zuerst, ob die Aufgabe zu einer arithmetischen oder einer geometrischen Folge gehört, bestimme dann a, d bzw. q und n und setze in die Formel ein.
Häufige Fehler: Summe der Quadrate und Quadrat der Summe verwechseln; in der Teleskopsumme Glieder nicht ganz wegkürzen; die erste Differenz mit dem n-ten Glied verwechseln; in der arithmetischen Summe n statt n − 1 verwenden.