Geometrische Wahrscheinlichkeit, Dichte und stetige Zufallsgrößen
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Punkt in einem Teil einer Figur, einer Strecke oder eines Kreisbogens landet, als Verhältnis von Maßen, verstehe die Dichte und lerne die Gleichverteilung und die Exponentialverteilung kennen.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 12
- Frankreich: Klasse 12
- Italien: Klasse 11
- Russland: Klasse 9
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt dieses Thema nicht vor: Die Wahrscheinlichkeit rechnen die Kinder dort mit Laplace-Experimenten (Jahrgangsstufe 8 und 9) und mit der Binomialverteilung. Die Dichte begegnet ihnen erst in der Jahrgangsstufe 12 indirekt bei der Gauß-Funktion. Die Gleichverteilung und die Exponentialverteilung sind ein Zusatz für Kinder, die mehr wissen wollen.
Wird ein Punkt zufällig gewählt, ist die Wahrscheinlichkeit für einen Teil das Maß des Teils geteilt durch das Maß des Ganzen: Länge, Bogenlänge oder Flächeninhalt. Bei einer stetigen Zufallsgröße hat ein einzelner genauer Wert die Wahrscheinlichkeit 0, deshalb betrachten wir Intervalle. Die Wahrscheinlichkeit ist der Flächeninhalt unter dem Graphen der Dichte, und die gesamte Fläche ist 1.
Gleichverteilung auf [a; b]: f(x) = 1 : (b − a). Exponentialverteilung (Wartezeit): f(x) = λ · e^(−λx) für x ≥ 0 mit dem Erwartungswert 1 : λ. Typische Fehler: Seiten statt Flächen vergleichen, die Dichte für eine Wahrscheinlichkeit halten, λ und die mittlere Wartezeit verwechseln.