Wahrscheinlichkeit und Kombinatorik
Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit P(A) = m : n, wenn du die Ergebnisse einer Auswahl mit dem Binomialkoeffizienten «n über k» und mit dem Zählprinzip abzählst.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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Hinweise für Erwachsene
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit und das Zählprinzip mit Baumdiagrammen gehören im bayerischen Lehrplan zur Jahrgangsstufe 8 und 9. Hier kommt das Abzählen bei einer Auswahl hinzu, bei der man nicht mehr alle Pfade zeichnen kann. Sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments gleich wahrscheinlich (Laplace-Experiment), dann gilt P(A) = m : n. Dabei ist n die Anzahl aller möglichen Ergebnisse und m die Anzahl der für A günstigen Ergebnisse.
Werden k von n Objekten zufällig und ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, gibt es «n über k» = n! : ((n − k)! · k!) Möglichkeiten. Wird aus zwei Gruppen zugleich gewählt, ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse das Produkt der Anzahlen für jede Gruppe. Kommt es auf die Reihenfolge an (eine Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern), multipliziert man nach dem Zählprinzip: n · (n − 1) · … Die Lösung wird so aufgeschrieben: «Gegeben», «Gesucht», «Lösung», «Antwort». Die Antwort ist ein vollständig gekürzter Bruch. Der Binomialkoeffizient «n über k» wird im bayerischen Lehrplan erst später in der Stochastik eingeführt.
Ein Beispiel: Von 28 Äpfeln sind 15 gelb, und es werden 3 Äpfel gewählt. Dann ist P = (15 über 3) : (28 über 3) = 536.