Heron-Verfahren und irrationale Zahlen
Berechne eine Wurzel näherungsweise mit dem Heron-Verfahren (ein Rechteck wird zum Quadrat) und beweise indirekt, dass √2 kein Bruch ist.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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Hinweise für Erwachsene
Das Heron-Verfahren berechnet eine Quadratwurzel mithilfe eines Rechtecks: Für √a startest du mit einem Rechteck vom Flächeninhalt a, zum Beispiel 3 mal 2 für a = 6. Ersetze die Seite x durch den Mittelwert von x und a : x. Das neue Rechteck ist näher an einem Quadrat.
Als Formel: x₁ = ½ · (x₀ + a : x₀). Wiederhole den Schritt: Die Nachkommastellen ändern sich immer weniger. Die Figuren sind maßstabsgetreu: 1 Kästchen entspricht 1 cm.
Eine Zahl ist rational, wenn man sie als Bruch p/q mit ganzen Zahlen p und q schreiben kann. √2 ist nicht rational. Der Beweis ist indirekt: Nimm an, √2 = p/q mit einem gekürzten Bruch, und zeige, dass p und q beide gerade wären. Das widerspricht der Annahme, dass der Bruch gekürzt ist.