Begründen und Beweisen in der Geometrie
Ziehe an einem gleichschenkligen Dreieck und sieh, dass die Basiswinkel immer gleich bleiben. Beweise es dann mit Begründungen, nutze es in einem neuen Beweis und zeige mit einem Gegenbeispiel, dass eine andere Behauptung falsch ist.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 7
- Frankreich: Klasse 7
- Portugal: Klasse 6
- Italien: Klasse 6
- Spanien: Klasse 6
- Großbritannien: Year 9
- Russland: Klasse 7
- Ukraine: Klasse 7
- Iran: Klasse 9
- Afghanistan: Klasse 8
- Syrien: Klasse 7
- Palästina: Klasse 6
Hinweise für Erwachsene
In Bayern lernen Schülerinnen und Schüler das Beweisen in der Jahrgangsstufe 7: Ein Satz wird in Voraussetzung und Behauptung zerlegt, dann folgt der Beweis in vollständigen Sätzen, am Ende steht □ oder «q. e. d.». Die Kongruenzsätze sss, sws, wsw und Ssw gehören dazu. Der Beweis durch Widerspruch kommt vor allem in der Jahrgangsstufe 9 vor.
Einige Figuren auszumessen (induktives Schließen) hilft, eine Vermutung aufzustellen, beweist sie aber nicht: Vielleicht gibt es eine Figur, die wir nicht probiert haben. Beim deduktiven Schließen gehen wir von der Voraussetzung aus und kommen Schritt für Schritt zur Behauptung, mit einer richtigen Begründung für jeden Schritt. Dann gilt das Ergebnis für jede Figur.
In der Beweistabelle hat jede Zeile eine Aussage und eine Begründung: Voraussetzung, eine Konstruktion (zum Beispiel die Mitte einer Seite), eine gemeinsame Seite, ein Kongruenzsatz, entsprechende Teile oder ein schon bewiesener Satz. «In der Zeichnung sieht man das» ist keine Begründung, und was du beweisen willst, darf nicht seine eigene Begründung sein.
Der Kehrsatz eines Satzes vertauscht Voraussetzung und Behauptung. Er muss nicht wahr sein. Um zu zeigen, dass eine allgemeine Behauptung falsch ist, genügt ein einziges Gegenbeispiel.