Graphen von y = ⁿ√x und Potenzen mit rationalem Exponenten
Vergleiche die Graphen von ³√x, ⁴√x und √x, bestimme die Definitionsmenge einer n-ten Wurzel und einer Potenz mit rationalem Exponenten und vergleiche Zahlen mit Hilfe der Monotonie.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 9
- Portugal: Klasse 8
- Italien: Klasse 9
- Spanien: Klasse 8
- Russland: Klasse 10
- Ukraine: Klasse 10
Hinweise für Erwachsene
Die n-te Wurzel und Potenzen mit rationalen Exponenten gehören im bayerischen Lehrplan zur Klasse 10 (Wurzelfunktionen, Potenzfunktionen). Im Unterricht wird ⁿ√a meist nur für a ≥ 0 betrachtet. Diese Einheit geht darüber hinaus: Sie zeigt auch ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen, etwa ³√(−8) = −2. Das ist eine Vertiefung.
Die Funktion f(x) = ³√x (ungerader Wurzelexponent) ist für alle reellen Zahlen definiert: Ihr Graph geht durch den Ursprung, sie ist punktsymmetrisch zum Ursprung und streng monoton steigend, D = ℝ, W = ℝ.
Die Funktion f(x) = ⁴√x (gerader Wurzelexponent) ist nur für x ≥ 0 definiert: D = [0;∞[, W = [0;∞[. Sie ist streng monoton steigend, und ihr Graph beginnt im Ursprung.
Die Funktion f(x) = xr mit rationalem r ist eine Potenzfunktion. Ist der gekürzte Bruch mn positiv, gilt D = [0;∞[, ist er negativ, gilt D = ]0;∞[.
Mit einer streng monoton steigenden Funktion vergleichst du Zahlen: Für nichtnegative a und b folgt aus a < b stets ⁿ√a < ⁿ√b.