Größter und kleinster Funktionswert, Potenzfunktionen
Bestimme den größten und kleinsten Funktionswert einer Funktion auf einer Menge, vergleiche die Graphen von y = xⁿ für gerades und ungerades n und lerne den Graphen von y = x⁻ⁿ kennen.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 9
- Frankreich: Klasse 10
- Portugal: Klasse 10
- Italien: Klasse 11
- Spanien: Klasse 10
- Russland: Klasse 10
- Ukraine: Klasse 10
Hinweise für Erwachsene
Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten gehören im bayerischen Lehrplan in Klasse 9 und 10 (Potenzfunktionen der Form a · xⁿ, Symmetrie und Verlauf, negative Exponenten). Größter und kleinster Funktionswert auf einem Intervall werden hier ohne Ableitung bestimmt.
f(x₀) ist der größte Funktionswert von f auf einer Menge M, wenn x₀ ∈ M gilt und f(x) ≤ f(x₀) für alle x ∈ M. Man schreibt maxf(x) = f(x₀), x ∈ M; der kleinste Funktionswert heißt min. Eine Funktion muss auf einer Menge keinen größten oder keinen kleinsten Wert haben.
Für y = xⁿ mit natürlichem n gilt: Bei geradem n ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, fallend auf ]−∞; 0] und steigend auf [0; ∞[; bei ungeradem n ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung und steigend auf ℝ.
y = x⁻ⁿ ist für x ≠ 0 definiert (D = ℝ \ {0}). Bei geradem n ist sie symmetrisch zur y-Achse mit der Wertemenge W = ]0; ∞[; bei ungeradem n ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung mit W = ]−∞; 0[ ∪ ]0; ∞[.