Ableitungen von Sinus, Exponentialfunktion, Logarithmus und Umkehrfunktion
Prüfe die Ableitung von sin x nahe null, zeichne die Tangente an ex, nutze ln x als Spiegelbild von ex, um seine Ableitung zu finden, und übertrage die Umkehrregel auf arctan.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Frankreich: Klasse 11
- Portugal: Klasse 12
- Italien: Klasse 13
- Spanien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 12
- Russland: Klasse 11
- Ukraine: Klasse 11
- Iran: Klasse 12
- Afghanistan: Klasse 12
- Syrien: Klasse 11
- Palästina: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan der Klasse 11 werden nur ganzrationale Funktionen abgeleitet. Die Ableitungen von sin, cos, ex und ln x, die Umkehrregel und die Ableitung von arctan gehören nicht zum Plan; sie sind hier eine Vertiefung. Es gilt (sin x)′ = cos x und (cos x)′ = −sin x. Nahe 0 schmiegt sich die Kurve von sin x an die Gerade y = x, ihre Steigung ist dort 1, und das ist cos 0.
(ex)′ = ex: In jedem Punkt ist die Steigung der Kurve gleich ihrer Höhe. Die Funktion ln x ist die Umkehrfunktion von ex, und es gilt (ln x)′ = 1x.
Ist f(a) = b, so hat die Umkehrfunktion an der Stelle b die Ableitung (f−1)′(b) = 1f′(a). Der Graph der Umkehrfunktion ist das Spiegelbild von G_f an der Geraden y = x, also werden die Steigungen «umgedreht».