Linearfaktoren, Nullstellen und Satz vom Rest
Einen Rest ohne Division bestimmen, mit dem Linearfaktor-Kriterium einen Faktor erkennen, die Nullstellen einer kubischen Gleichung finden und Koeffizienten aus den Nullstellen ablesen.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 10
- Portugal: Klasse 10
- Italien: Klasse 9
- Spanien: Klasse 10
- Großbritannien: Year 12
- Russland: Klasse 10
- Iran: Klasse 12
- Afghanistan: Klasse 10
Hinweise für Erwachsene
Der Satz vom Rest steht nicht im bayerischen Lehrplan. Der Kern davon, das Abspalten eines Linearfaktors bei einer Nullstelle, gehört aber zu den ganzrationalen Funktionen in Jahrgangsstufe 10 und 11: Hat p(x) die Nullstelle a, dann ist x − a ein Faktor, und man teilt ihn mit der Polynomdivision ab.
Satz vom Rest: Teilt man ein Polynom p(x) durch x − a, ist der Rest p(a). Du musst nicht dividieren, sondern nur die Zahl a in das Polynom einsetzen. Die Zahl a ist die Stelle, an der x − a null ist, für x + 2 also −2.
Linearfaktor-Kriterium: Ist p(a) = 0, dann ist der Rest 0 und x − a ist ein Faktor von p(x). Die Zahl a ist also eine Lösung von p(x) = 0.
Um eine kubische Gleichung zu lösen, suchst du zuerst eine Nullstelle: Probiere kleine ganze Zahlen aus, die das Absolutglied teilen. Spalte den Linearfaktor ab; es bleibt eine quadratische Gleichung, die du mit der Lösungsformel löst.
Kennst du die Nullstellen von x3 + px2 + qx + r, multiplizierst du (x − a)(x − b)(x − c) aus und liest die Koeffizienten ab. In jeder Aufgabe gibst du eine Zahl ein oder markierst die Nullstellen auf der Zahlengeraden.