Quadratische Gleichungen: Faktorisieren, quadratische Ergänzung, Lösungsformel
Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen, mit Plättchen quadratisch ergänzen, mit der Diskriminante die Anzahl der Lösungen bestimmen und den Extremwert eines quadratischen Terms finden.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 9
- Frankreich: Klasse 9
- Portugal: Klasse 8
- Italien: Klasse 9
- Spanien: Klasse 8
- Großbritannien: Year 10
- Russland: Klasse 8
- Ukraine: Klasse 8
- Iran: Klasse 10
- Afghanistan: Klasse 9
- Syrien: Klasse 9
- Palästina: Klasse 8
Hinweise für Erwachsene
In Bayern lernst du quadratische Gleichungen in der Jahrgangsstufe 9 kennen (Gymnasium und Realschule): Lösen durch Faktorisieren, mit quadratischer Ergänzung und mit der Lösungsformel samt Diskriminante D. Den Extremwert eines quadratischen Terms mit der quadratischen Ergänzung bestimmst du schon in Klasse 8.
Ist ein Produkt gleich 0, dann ist einer der Faktoren 0. Aus (x − 2)(x − 3) = 0 folgt also x = 2 oder x = 3. Eine quadratische Gleichung kann zwei Lösungen haben: Gib beide an (Lösungsmenge, zum Beispiel L = {2; 3}).
Teile niemals beide Seiten durch x: x könnte 0 sein, und diese Lösung ginge verloren. Bringe alles auf eine Seite und klammere aus oder faktorisiere.
Quadratische Ergänzung: x² + 6x ist ein Quadrat mit der Seitenlänge x und zwei Streifen 3x, einer an jeder Seite. Die fehlende Ecke ist 3 · 3 = 9, also x² + 6x + 9 = (x + 3)². Damit hat schon Al-Chwarizmi vor etwa 1200 Jahren Gleichungen gelöst.
Dasselbe mit ax² + bx + c = 0 ergibt die Lösungsformel x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) : (2a). Der Term D = b² − 4ac heißt Diskriminante und sagt, wie viele Lösungen es gibt: zwei, wenn D > 0, eine, wenn D = 0, keine, wenn D < 0.
Am Faktorenbrett tippst du den Chip an und dann auf „Zerlegen“, dann gibst du die Lösungen in die Felder x = □ ein. Im Rechteck baust du die beiden Seiten mit − und + auf.