Näherungen mit (1 + x)^n
Mit den ersten Gliedern der Entwicklung von (1 + x)^n Wurzeln und Kehrwerte von Zahlen nahe 1 abschätzen.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Portugal: Klasse 12
- Italien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 13
- Afghanistan: Klasse 11
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt dieses Thema nicht vor, es ist eine Vertiefung für Interessierte. Voraussetzung sind die binomischen Formeln (Klasse 7 und 8).
Für ganzzahlige Hochzahlen kennst du die Entwicklung: (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3. Dieselbe Formel gilt auch für Hochzahlen n, die Brüche oder negativ sind, hört dann aber nie auf.
(1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)2!x2 + …. Ist x klein, dann ist x² viel kleiner als x, und die ersten Glieder liefern schon einen guten Näherungswert.
Beispiel: √1,04 = (1 + 0,04)12 ≈ 1 + 0,042 = 1,02. Nur zwei Glieder, und der Wert ist schon sehr genau.
Regel: Ist n keine ganze Zahl, gilt die Entwicklung nur für |x| < 1. Markiere den Näherungswert auf der vergrößerten Zahlengeraden, gib den Koeffizienten ein und zeichne, wo die Entwicklung gilt.