الزوايا المركّبة وضعف الزاوية وثلاثة أمثالها والجمع والجداء

هذه الورشة من مقرر الصف الحادي عشر العلمي (الجزء الثاني، الوحدة ٤: «النسب المثلثية»: جيب مجموع زاويتين وضعف الزاوية)؛ وبعض موادها، كثلاثة أمثال الزاوية وتحويل الجمع إلى جداء، توسّع مفيد. كل جواب يأتي من القيم الدقيقة للزوايا ⁦٣٠°⁩ و⁦٤٥°⁩ و⁦٦٠°⁩، ويبيّن الشكل زوايا المسألة على الدائرة المثلثية.

علاقات الجمع: sin (A + B) = sin AcosB + cos AsinB وcos (A + B) = cos AcosB − sin AsinB وtan (A + B) = tan A + tan B١ − tan AtanB. وللفرق A − B تتبدّل الإشارات. والجيب لا يتوزّع على الجمع: sin (A + B) لا يساوي sin A + sin B.

إذا أخذنا B = A حصلنا على علاقات ضعف الزاوية: sin ٢A = ٢sin AcosA وcos ٢A = cos^٢A − sin^٢A، ومنها sin ٣A = ٣sin A − ٤sin^٣A.

يتحوّل مجموع الجيوب إلى جداء: sin A + sin B = ٢sin (A + B٢)cos (A − B٢). وasinx + bcosx = Rsin(x + α) حيث R = √(a^٢ + b^٢) وtanα = ba.