ضرب داخلی بردارها: اندازه، زاویه و مختصات

این کارگاه با بخش «ضرب داخلی» فصل ۳ هندسهٔ ۳ (پایهٔ دوازدهم) هماهنگ است. زاویهٔ بین دو بردار ناصفر a و b همان زاویهٔ AOB است که OA = a و OB = b. آن را با ∠(a, b) نشان می‌دهیم و ۰° ≤ ∠(a,b) ≤ ۱۸۰°. اگر زاویه ۹۰° باشد، بردارها بر هم عمودند.

ضرب داخلی دو بردار برابر است با حاصل‌ضرب اندازه‌هایشان در کسینوس زاویهٔ بینشان: a · b = |a| |b| cos ∠(a, b). ضرب داخلی a · a را a² می‌نویسیم و a² = |a|². دو بردار ناصفر وقتی بر هم عمودند که a · b = ۰ باشد.

برای a با مختصات (a_۱,a_۲,a_۳) و b با مختصات (b_۱,b_۲,b_۳) داریم a·b = a_۱b_۱ + a_۲b_۲ + a_۳b_۳. پس cos∠(a,b) = a_۱b_۱ + a_۲b_۲ + a_۳b_۳√(a_۱^۲ + a_۲^۲ + a_۳^۲)·√(b_۱^۲ + b_۲^۲ + b_۳^۲).

ضرب داخلی جابه‌جایی‌پذیر است، (ka) · b = k(a · b) و نسبت به جمع پخشی است. پس (a + b)² = a² + 2a · b + b².