ریاضی را حرف بزن · سال‌های آخر مدرسه

بردارها: پیکان‌هایی با اندازه و جهت

بردار فقط یک عدد نیست؛ هم اندازه دارد و هم جهت. چند علامت کوچک می‌گویند چطور یک بردار را بنویسیم، اندازه‌اش را بگیریم و دو بردار را در هم ضرب کنیم.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$v$ بخوان: بردار vیعنی: پیکانی با طول و جهت؛ در دست‌نویس یک پیکان کوچک روی حرف می‌گذاریم
$v = (v_{۱}, v_{۲})$ بخوان: بردار v با مؤلفه‌های v یک و v دویعنی: همان پیکان با حرف سیاه؛ مؤلفه‌ها می‌گویند در راستای هر محور چقدر می‌رود
$∥ v ∥$ بخوان: نُرم v، یعنی طول بردار vیعنی: پیکان چقدر بلند است: فقط یک عدد
$u \cdot v$ بخوان: u ضرب داخلی vیعنی: یک عدد، نه یک پیکان؛ وقتی دو بردار بر هم عمود باشند صفر می‌شود
$u \times v$ بخوان: u ضرب خارجی vیعنی: بردار تازه‌ای عمود بر هر دو؛ طولش مساحت متوازی‌الاضلاعی است که این دو می‌سازند
$u^= \frac{u}{∥ u ∥}$ بخوان: u هَت برابر است با u تقسیم بر نُرم uیعنی: بردار یکه: همان جهت u ولی با طول یک

داستان: قایق و جریان آب

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$b = (۰, ۴)$ قایقی در آب ساکن با سرعت ۴ متر بر ثانیه مستقیم از عرض رودخانه، رو به شمال، می‌رود. شرق x است و شمال y.
$c = (۳, ۰)$ اما آبِ خود رودخانه با سرعت ۳ متر بر ثانیه رو به شرق می‌رود.
$v = b + c = (۳, ۴)$ قایق هر دو را همزمان حس می‌کند: سرعت واقعی‌اش مجموع این دو بردار است.
$∥ v ∥ = ۵$ تندی واقعی طول همین بردار است: ۵ متر بر ثانیه، وترِ مثلثی با ضلع‌های ۳ و ۴.
$v^= (۰٫۶, ۰٫۸)$ برای نگه‌داشتن فقط جهت، بر طول تقسیم می‌کنیم: ۰٫۶ به شرق و ۰٫۸ به شمال، یک بردار یکه.
$b \cdot c = ۰$ بردارِ قایق و بردارِ جریان بر هم عمودند، پس ضرب داخلی‌شان صفر است: جریان آب قایق را حتی کمی هم به شمال جلو نمی‌برد.
$b \times c = (۰, ۰, - ۱۲)$ اگر جهت سومی رو به بالا بگیریم، ضرب خارجی آن دو مستقیم رو به پایین است و طولش ۱۲ است: مساحت متوازی‌الاضلاعی که این دو می‌سازند.
$۱۰ v = (۳۰, ۴۰)$ عرض رودخانه ۴۰ متر است، پس گذشتن ۱۰ ثانیه طول می‌کشد. جابه‌جایی قایق ده برابر سرعتش است: ۳۰ متر به شرق و ۴۰ متر به شمال.
$∥ ۱۰ v ∥ = ۵۰$ قایق ۵۰ متر راه می‌رود، هرچند عرض رودخانه فقط ۴۰ متر است، و ۳۰ متر پایین‌تر از جایی که نشانه رفته بود به ساحل می‌رسد.

این داستان با کلمه‌ها ۸۷۸ حرف است؛ با نمادها ۸۵.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$∥ v ∥ = ۵$

$u \cdot v = ۰$

$∥ u^∥ = ۱$

$w = u \times v$

$u \cdot v = ∥ u ∥ ∥ v ∥$

$w = (۲, - ۵)$

$∥ u \times v ∥ = ۰$

$a + b = ۰$

$∥ ۳ v ∥ = ۳ ∥ v ∥$

$v^= (۰, ۱)$

$u \cdot v < ۰$

$F \cdot d = ۱۲$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

طول بردار v.

بردارهای u و v بر هم عمودند.

بردار یکه در جهت u برابر است با u تقسیم بر طولش.

بردار v که ۳ در راستای x و ۴ در راستای y می‌رود.

مساحت متوازی‌الاضلاعی که u و v می‌سازند.

مجموع دو بردار a و b، هر یک با پیکان کوچکی روی حرفش.

طول بردار (۵, ۱۲) برابر ۱۳ است.

ضرب داخلی (۱, ۲) و (۳, ۴) برابر ۱۱ است.

بردار یکه در جهت (۳, ۴): بردار را بر طولش، ۵، تقسیم کن.

ضرب خارجی u و v بردار تازه‌ای به نام w است، عمود بر هر دو.

دو بردار دقیقاً هم‌جهت‌اند: ضرب داخلی‌شان برابر حاصل‌ضرب طول‌هایشان است.

بردار v، کوچک‌شده تا طول یک.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

u هَت برابر است با u تقسیم بر نُرم u.

u ضرب داخلی v مساوی صفر است.

طول بردار (۳, ۴) برابر ۵ است.

u ضرب خارجی v برابر w است.

بردار a به‌علاوهٔ بردار b برابر بردار c است.

ضرب داخلی (۲, ۱) و (۱, ۳) برابر ۵ است.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 چهار پیکان در صفحه

اینجا u = (۳, ۴) و v = (۴, −۳) و w = (−۳, −۴) و z = (۱, ۰) است. هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$u$	$v$	$w$
$u$		✓
$v$	✓		✓
$w$		✓
$z$

تیک یعنی پیکان سطر و پیکان ستون با زاویهٔ قائمه به هم می‌رسند، پس ضرب داخلی‌شان صفر است.

$u \cdot v = ۰$
$u \cdot w = ۰$
$∥ v ∥ = ۷$
$u^= (۰٫۶, ۰٫۸)$
$u + v = (۷, ۱)$
$∥ u ∥ = ∥ w ∥$

2 شش نماد، شش معنا

این سطرها شبیه هم‌اند اما حرف‌های کاملاً متفاوتی می‌زنند. هر کدام را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 طول یک پیکان

این سطر باید طول بردار (۳, ۴) را پیدا کند. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 زاویهٔ قائمه بساز

k چه مقداری باشد دو پیکان بر هم عمود می‌شوند؟

$u = (۲, ۳), v = (۳, k), u \cdot v = ۰$

5 متوازی‌الاضلاع

دو پیکان در راستای x و y یک مستطیل می‌سازند. طول ضرب خارجی‌شان چقدر است؟

$u = (۳, ۰, ۰), v = (۰, ۲, ۰), ∥ u \times v ∥ = ?$

6 قانون زاویهٔ قائمه

با نماد بنویس: دو بردار بر هم عمودند اگر و تنها اگر ضرب داخلی‌شان صفر باشد. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

7 کوچک کن تا یک شود

تقسیم یک بردار بر طول خودش یک بردار یکه می‌دهد. با نماد بنویس که این بردار طول یک دارد. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

8 چهار باد

چهار بردار: a = (۲, ۰) و b = (۰, ۳) و c = (−۲, ۰) و d = (۱, ۱). هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$a$	$b$	$c$	$d$
$a$	✓		✓
$b$		✓
$c$	✓		✓
$d$				✓

تیک یعنی بردار سطر و بردار ستون موازی‌اند (یکی مضربی از دیگری است)، پس ضرب خارجی‌شان بردار صفر است.

$a \times c = ۰$
$a + c = ۰$
$a \cdot b = ۰$
$∥ d ∥ = ۲$
$b \times d = ۰$
$∥ b \times d ∥ = ۳$

9 عدد یا بردار؟

هر سطر یا یک عدد می‌دهد یا یک بردار تازه. هر کدام را به حاصلش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

10 ضرب داخلی، نه یک زوج

این باید ضرب داخلی (۲, ۳) و (۴, ۱) را حساب کند. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

11 طولش را یک کن

این باید بردار یکه در جهت v را پیدا کند. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

12 نردبان

پای نردبانی ۸ واحد از دیوار فاصله دارد و سرش ۱۵ واحد بالا رفته است. نردبان چقدر بلند است؟

$v = (۸, ۱۵), ∥ v ∥ = ?$

13 پارو زدن خلاف جریان

قایقی با سرعت b پارو می‌زند و جریان آب با c آن را هل می‌دهد. قایق واقعاً با چه تندی حرکت می‌کند؟

$b = (۳, ۴), c = (- ۳, ۰), ∥ b + c ∥ = ?$

14 دو محور، محور سوم را می‌سازند

بردارهای یکهٔ محور x و محور y را در هم ضرب خارجی می‌کنیم. کدام بردار به دست می‌آید؟

$u = (۱, ۰, ۰), v = (۰, ۱, ۰), u \times v = ?$

15 کشیدن بادبادک

نخی با نیروی F می‌کشد و بادبادک در راستای d جابه‌جا می‌شود. با نماد بنویس که کار انجام‌شده ضرب داخلی نیرو و جابه‌جایی است. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

16 دو مرحلهٔ یک سفر

سفری دو مرحله دارد: اول a، بعد b. با نماد بنویس: جابه‌جایی کل مجموع آن دو است و طولش هرگز از مجموع طول دو مرحله بیشتر نیست. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان دوخطی از چیزی بنویس که همزمان از دو طرف هل داده می‌شود، یک توپ یا شناگر یا برگ، فقط با نمادها: دو بردار، مجموعشان، طولش.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

بردارها: پیکان‌هایی با اندازه و جهت

الفبا

داستان: قایق و جریان آب

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 چهار پیکان در صفحه

2 شش نماد، شش معنا

3 طول یک پیکان

4 زاویهٔ قائمه بساز

5 متوازی‌الاضلاع

6 قانون زاویهٔ قائمه

7 کوچک کن تا یک شود

8 چهار باد

9 عدد یا بردار؟

10 ضرب داخلی، نه یک زوج

11 طولش را یک کن

12 نردبان

13 پارو زدن خلاف جریان

14 دو محور، محور سوم را می‌سازند

15 کشیدن بادبادک

16 دو مرحلهٔ یک سفر

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت