ظرفِ عسل

ظرفی ۶۴۰ گرم عسل دارد. خرسی دانا تصمیم گرفته: هر روز نصفِ آنچه در ظرف مانده است برمی‌دارم.

ظرف: $J_{\mathrm{۰}}=\mathrm{۶۴۰}$ گرم. هر روز خرس نصفِ باقی‌مانده را برمی‌دارد.

$J_{\mathrm{۰}}=\mathrm{۶۴۰}$، $J_k=J_{k-\mathrm{۱}}/۲$

روز اول نصفِ ۶۴۰ یعنی ۳۲۰ گرم برمی‌دارد و ۳۲۰ گرم می‌ماند. روز دوم ۱۶۰ گرم برمی‌دارد و ۱۶۰ می‌ماند. روز سوم ۸۰. هر روز ظرف نصفِ روز پیش عسل دارد.

در روزِ $k$ام خرس $\frac{\mathrm{۶۴۰}}{{\mathrm{۲}}^k}$ گرم برمی‌دارد و همان‌قدر می‌ماند. روزهای $\mathrm{۱}$ و $\mathrm{۲}$ و $\mathrm{۳}$ می‌شود $\mathrm{۳۲۰},\mathrm{۱۶۰},\mathrm{۸۰}$ گرم.

$(J_{\mathrm{۱}},J_{\mathrm{۲}},J_{\mathrm{۳}})=(\mathrm{۳۲۰},\mathrm{۱۶۰},\mathrm{۸۰})$

پس از هفت روز ۵ گرم مانده است (۶۴۰ تقسیم بر ۱۲۸) و پس از ده روز ۰٫۶۲۵ گرم، کمتر از یک گرم. ولی ظرف هیچ‌وقت خالی نمی‌شود: پس از هر تعداد روز، چیزی در آن هست.

پس از $n$ روز می‌ماند $J_n=\mathrm{۶۴۰}\cdot {\mathrm{۲}}^{-n}$. داریم $J_{\mathrm{۷}}=\mathrm{۵}$ و $J_{\mathrm{۱۰}}=۰٫۶۲۵$، و برای هر $n$ داریم $J_n>\mathrm{۰}$.

$J_n=\mathrm{۶۴۰}\cdot {\mathrm{۲}}^{-n}$، $J_{\mathrm{۷}}=\mathrm{۵}$، $J_{\mathrm{۱۰}}=۰٫۶۲۵$، $\forall n,J_n>\mathrm{۰}$

با این حال خرس تقریباً همهٔ ظرف را خورده است: پس از ده روز ۶۳۹٫۳۷۵ گرم. اگر روزها بی‌پایان ادامه یابند، مجموعِ خورده‌ها به ۶۴۰ نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود، اما هیچ‌گاه به آن نمی‌رسد. برای فردا همیشه عسل هست؛ «کافی» یعنی هر بار فقط بخشی برداشتن.

خورده‌شده پس از $n$ روز ${\sum }_{k=\mathrm{۱}}^n\frac{\mathrm{۶۴۰}}{{\mathrm{۲}}^k}=\mathrm{۶۴۰}(\mathrm{۱}-{\mathrm{۲}}^{-n})$ است؛ برای $n=\mathrm{۱۰}$ می‌شود $۶۳۹٫۳۷۵$. با بزرگ شدن $n$ به $\mathrm{۶۴۰}$ نزدیک می‌شود: ${\lim }_{n\to \infty }\mathrm{۶۴۰}(\mathrm{۱}-{\mathrm{۲}}^{-n})=\mathrm{۶۴۰}$، ولی هیچ‌گاه به آن نمی‌رسد.

${\sum }_{k=\mathrm{۱}}^n\frac{\mathrm{۶۴۰}}{{\mathrm{۲}}^k}=\mathrm{۶۴۰}(\mathrm{۱}-{\mathrm{۲}}^{-n})<\mathrm{۶۴۰}$، ${\lim }_{n\to \infty }\mathrm{۶۴۰}(\mathrm{۱}-{\mathrm{۲}}^{-n})=\mathrm{۶۴۰}$