مربعِ تقویم

بچه‌ای برگِ این ماه را از تقویم دیواری کند. مادرش گفت: دور نه روز یک مربع بکش، سه تا در عرض و سه تا در طول، و آن‌ها را جمع بزن. فقط حاصل را بگو تا من روزِ وسط را بگویم.

بچه‌ای برگِ این ماه را از تقویم کند. مادر: دور $\mathrm{۹}$ روز مربعی $\mathrm{۳}\times \mathrm{۳}$ بکش، جمعشان را بزن و فقط حاصل $S$ را بگو تا من روزِ وسط را بگویم.

مربع $\mathrm{۳}\times \mathrm{۳}$، حاصل $S$، روزِ وسط $n$.

بچه مربعی کشید که ۹ در گوشهٔ بالایش بود: ۹، ۱۰، ۱۱، ۱۶، ۱۷، ۱۸، ۲۳، ۲۴ و ۲۵. حاصل‌جمع صد و پنجاه‌وسه شد. مادر آن را بر نه تقسیم کرد و گفت: هفده. درست بود.

مربع: $\mathrm{۹},\mathrm{۱۰},\mathrm{۱۱},\mathrm{۱۶},\mathrm{۱۷},\mathrm{۱۸},\mathrm{۲۳},\mathrm{۲۴},\mathrm{۲۵}$. حاصل‌جمع $S=\mathrm{۹}+\mathrm{۱۰}+\mathrm{۱۱}+\mathrm{۱۶}+\mathrm{۱۷}+\mathrm{۱۸}+\mathrm{۲۳}+\mathrm{۲۴}+\mathrm{۲۵}=\mathrm{۱۵۳}$. مادر: $\mathrm{۱۵۳}÷\mathrm{۹}=\mathrm{۱۷}$. درست بود.

$S=\mathrm{۹}+\mathrm{۱۰}+\mathrm{۱۱}+\mathrm{۱۶}+\mathrm{۱۷}+\mathrm{۱۸}+\mathrm{۲۳}+\mathrm{۲۴}+\mathrm{۲۵}=\mathrm{۱۵۳}$ و $S÷\mathrm{۹}=\mathrm{۱۷}$.

دلیلش این است. روزهایی را که دو طرفِ وسط روبه‌روی هم‌اند بردارید: ۹ و ۲۵، ۱۰ و ۲۴، ۱۱ و ۲۳، ۱۶ و ۱۸. هر جفت سی‌وچهار می‌شود، یعنی دو برابرِ هفده. چهار جفت می‌شود صد و سی‌وشش، و خودِ روزِ وسط هفده تای دیگر اضافه می‌کند.

دلیل: روزهای روبه‌رو در دو طرفِ وسط: $\mathrm{۹}+\mathrm{۲۵}=\mathrm{۳۴}$، $\mathrm{۱۰}+\mathrm{۲۴}=\mathrm{۳۴}$، $\mathrm{۱۱}+\mathrm{۲۳}=\mathrm{۳۴}$، $\mathrm{۱۶}+\mathrm{۱۸}=\mathrm{۳۴}$. هر جفت $\mathrm{۲}\times \mathrm{۱۷}$ است. و $\mathrm{۴}\times \mathrm{۳۴}=\mathrm{۱۳۶}$ و $\mathrm{۱۳۶}+\mathrm{۱۷}=\mathrm{۱۵۳}$.

$\mathrm{۹}+\mathrm{۲۵}=\mathrm{۱۰}+\mathrm{۲۴}=\mathrm{۱۱}+\mathrm{۲۳}=\mathrm{۱۶}+\mathrm{۱۸}=\mathrm{۳۴}=\mathrm{۲}\times \mathrm{۱۷}$؛ $\mathrm{۴}\times \mathrm{۳۴}+\mathrm{۱۷}=\mathrm{۱۵۳}$.

این برای هر ماه و هر مربعی درست است: چهار جفت هشت برابرِ روزِ وسط می‌شود و خودِ روزِ وسط آن را نه برابر می‌کند. حاصل را بر نه تقسیم کنید تا روزِ وسط برگردد.

برای هر ماه و هر مربع، اگر روزِ وسط $n$ باشد: $S=\mathrm{۸}n+n=\mathrm{۹}n$. پس $n=S÷\mathrm{۹}$.

$\forall n,S=\mathrm{۸}n+n=\mathrm{۹}n$ و $n=S÷\mathrm{۹}$.