ریاضی را حرف بزن · سال‌های آخر مدرسه

خواندن کسرِ مجموع‌ها

عبارت‌های بلند، عبارت‌های کوتاهِ تودرتو هستند. یاد بگیر خط کسر، پرانتز یا سیگمای بزرگ کجا شروع و کجا تمام می‌شود، آن‌وقت بلندترین خط به چند گام کوچک به ترتیب درست تبدیل می‌شود.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$\frac{a + b}{c + d}$ بخوان: تمام a + b بر تمام c + dیعنی: خط کسر مثل یک جفت پرانتز عمل می‌کند: هر چه بالای آن است یک بلوک است و هر چه پایین آن است بلوکی دیگر.
$a - (b - (c - d))$ بخوان: a منهای، در پرانتز، b منهای، در پرانتز، c منهای dیعنی: پرانتزهای تودرتو از درون به بیرون خوانده می‌شوند: اول درونی‌ترین. منفی جلوی پرانتز علامت همهٔ اجزای داخل آن را عوض می‌کند.
$\sum_{i = ۱}^{n} a_{i} b_{i}$ بخوان: مجموع، برای i از ۱ تا n، از a i ضرب در b iیعنی: دامنهٔ یک مجموع روی حاصل‌ضرب‌ها ادامه دارد و در اولین جمع یا تفریق بعدی تمام می‌شود: اینجا کل حاصل‌ضرب a i b i جمع زده می‌شود.
$\sum_{i = ۱}^{n} a_{i} + b$ بخوان: مجموع a i، و بعد به‌اضافهٔ bیعنی: بعد از علامت جمع، مجموع تمام شده است. اینجا b یک بار و بیرون از مجموع اضافه می‌شود. برای افزودن b به‌ازای هر i باید پرانتز گذاشت.
$lim_{n \to \infty} \sum_{i = ۱}^{n} a_{i}$ بخوان: حد، وقتی n به بی‌نهایت میل می‌کند، از مجموع a i برای i تا nیعنی: اول مجموع برای n ثابت، بعد حد وقتی n بزرگ می‌شود. همان n که در مجموع هست در حد حرکت می‌کند.
$\prod_{i = ۱}^{n} a_{i}$ بخوان: حاصل‌ضرب، برای i از ۱ تا n، از a iیعنی: مثل سیگما، ولی جمله‌ها در هم ضرب می‌شوند. یک صفر کل حاصل‌ضرب را صفر می‌کند.
$\sum_{i = ۱}^{m} \sum_{j = ۱}^{n} a_{ij}$ بخوان: مجموع روی i از ۱ تا m از مجموع روی j از ۱ تا n از a i jیعنی: دو حلقه: i حلقهٔ بیرونی است و j حلقهٔ درونی که سریع‌تر می‌گردد. با هم همهٔ درایه‌های یک جدول m در n را جمع می‌زنند.
$a / b + c$ بخوان: a تقسیم بر b، بعد به‌اضافهٔ cیعنی: خط مورب در یک سطر از جمع قوی‌تر است: اول تقسیم، بعد جمع. برای تقسیم بر یک مجموع، آن را داخل پرانتز بگذار.

داستان: نه گام کوچک

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$i = ۱ \sum ۴ i = ۱ + ۲ + ۳ + ۴ = ۱۰$ یک مجموع بزرگ حلقه‌ای است به شکل کوتاه. برای i از ۱ تا ۴، i را جمع بزن: ۱۰.
$i = ۱ \sum ۴ i^{۲} = ۱ + ۴ + ۹ + ۱۶ = ۳۰$ دامنه می‌تواند بلندتر باشد. به‌جای آن i² را جمع بزن: ۳۰.
$i = ۱ \sum ۴ i + ۱ = ۱۱, i = ۱ \sum ۴ (i + ۱) = ۱۴$ جایی که دامنه تمام می‌شود مهم است. بدون پرانتز، ۱ یک بار بعد از مجموع اضافه می‌شود: ۱۱. با پرانتز، ۱ به‌ازای هر i اضافه می‌شود: ۱۴.
$\frac{۱ + ۲}{۳ + ۴} = \frac{۳}{۷}$ خط کسر یک جفت پرانتز است. تمام بالا بر تمام پایین: سه‌هفتم.
$۱۲/۳ + ۱ = ۵, ۱۲/ (۳ + ۱) = ۳$ در یک سطر، خط مورب اول تقسیم می‌کند. برای تقسیم بر مجموع پرانتز لازم است: ۵ در برابر ۳.
$۲ - (۳ - (۴ - ۱)) = ۲$ پرانتزهای تودرتو: از درون به بیرون. ۴ منهای ۱ می‌شود ۳؛ ۳ منهای ۳ می‌شود ۰؛ ۲ منهای ۰ می‌شود ۲.
$i = ۱ \sum ۲ j = ۱ \sum ۳ ij = ۱۸$ دو حلقه. برای i برابر ۱، j مقدارهای ۱ و ۲ و ۳ را می‌دهد: ۶. برای i برابر ۲، دو برابر آن: ۱۲. روی هم ۱۸.
$i = ۱ \prod ۴ i = ۱ \cdot ۲ \cdot ۳ \cdot ۴ = ۲۴$ همان حلقه با علامت حاصل‌ضرب: ۲۴.
$n \to \infty lim i = ۱ \sum n \frac{۱}{۲ ^{i}} = ۱$ آخر، حدِ مجموع‌ها: نیم، ربع، یک‌هشتم و همین‌طور ادامه. هر قدر ادامه دهیم، مجموع به ۱ نزدیک‌تر می‌شود.

این داستان با کلمه‌ها ۷۴۷ حرف است؛ با نمادها ۱۵۱.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$\frac{۱ + ۲}{۳ + ۴}$

$۱ + \frac{۲}{۳} + ۴$

$i = ۱ \sum ۳ i^{۲} = ۱۴$

$i = ۱ \sum ۳ i + ۵ = ۱۱$

$i = ۱ \sum ۳ (i + ۵) = ۲۱$

$i = ۱ \sum ۲ j = ۱ \sum ۳ ij = ۱۸$

$۱۲/۳ + ۱$

$۱۲/ (۳ + ۱)$

$۲ - (۳ - (۴ - ۱))$

$i = ۱ \prod ۴ i = ۲۴$

$n \to \infty lim i = ۱ \sum n \frac{۱}{۲ ^{i}} = ۱$

$\frac{\sum _{i = ۱}^{۴} i}{۴} = \frac{۵}{۲}$

$\frac{\frac{۱}{۲}}{\frac{۱}{۴}} = ۲$

$k = ۰ \sum n ۲^{k} = ۲^{n + ۱} - ۱$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

تمام ۱ + ۲ تقسیم بر تمام ۳ + ۴.

برای i از ۱ تا ۴، i² را جمع بزن.

برای i از ۱ تا ۴، i را جمع بزن، سپس ۱ را به مجموع اضافه کن.

برای هر i از ۱ تا ۴، مقدار i + ۱ را جمع بزن.

۱۲ تقسیم بر مجموع ۳ + ۱.

۲ منهای پرانتز: ۳ منهای پرانتز ۴ منهای ۱.

حاصل‌ضرب عددهای ۱ تا ۵.

برای هر i از ۱ تا ۲ مقدار i ضرب در j را روی j از ۱ تا ۳ جمع بزن؛ روی i هم جمع بزن.

مجموع یک بر ۲ به توان i، برای i از ۱ تا n، وقتی n بی‌کران می‌شود.

نیم تقسیم بر ربع.

میانگین x۱ تا x n: مجموعشان تقسیم بر n.

توان‌های ۲ را از ۲ به توان ۰ تا ۲ به توان n جمع بزن.

۶ بر ۲، و بعد ۱ اضافه می‌شود.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

۱۲ تقسیم بر مجموع ۳ + ۱.

برای i از ۱ تا n، i را جمع بزن.

برای هر i از ۱ تا n، i + ۱ را جمع بزن.

i را برای هر i جمع بزن، سپس ۱ را یک بار بیرون از مجموع اضافه کن.

حاصل‌ضرب عددهای ۱ تا n.

حد، وقتی n بزرگ می‌شود، از مجموع a i برای i تا n.

۲ منهای پرانتز ۳ منهای ۱.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 مجموع روی یک جدول

یک جدول از تیک‌ها: a_ij برابر ۱ است اگر خانهٔ سطر i و ستون j تیک داشته باشد، وگرنه ۰. هر خط را داوری کن.

	$۱$	$۲$	$۳$	$۴$
$۱$	✓		✓	✓
$۲$		✓	✓
$۳$	✓	✓

تیک یعنی a_ij = ۱؛ نبودن تیک یعنی a_ij = ۰.

$\sum_{j = ۱}^{۴} a_{۱ j} = ۳$
$\sum_{i = ۱}^{۳} a_{i ۲} = ۲$
$\sum_{i = ۱}^{۳} \sum_{j = ۱}^{۴} a_{ij} = ۸$
$\sum_{i = ۱}^{۳} a_{i ۱} + a_{۲۲} = ۵$
$\sum_{i = ۱}^{۳} (a_{i ۱} + a_{۲۲}) = ۵$

2 مجموع‌های جزئی بالا می‌خزند

S_n را مجموع «۱ بر ۲ به توان i» برای i از ۱ تا n بگیر. سطرها n هستند و ستون‌ها آستانه‌ها. هر خط را داوری کن.

	$۰٫۵$	$۰٫۷$	$۰٫۹$
$۱$	✓
$۲$	✓	✓
$۳$	✓	✓
$۴$	✓	✓	✓

تیک یعنی S_n دست‌کم برابر عدد ستون است.

$S_{۴} \geq ۰٫۹$
$S_{۳} \geq ۰٫۹$
$\forall n \leq ۴ : S_{n} \geq ۰٫۵$
$\exists n \leq ۴ : S_{n} \geq ۰٫۹۵$
$\forall n : S_{n} < ۱$

3 حاصل‌ضرب یعنی «همه‌شان»

درایه‌ها ۰ یا ۱ هستند. حاصل‌ضرب درایه‌ها فقط وقتی ۱ است که همهٔ درایه‌ها ۱ باشند. هر خط را داوری کن.

	$۱$	$۲$	$۳$
$۱$	✓	✓	✓
$۲$	✓		✓
$۳$

تیک یعنی a_ij = ۱؛ نبودن تیک یعنی a_ij = ۰.

$\prod_{j = ۱}^{۳} a_{۱ j} = ۱$
$\prod_{j = ۱}^{۳} a_{۲ j} = ۱$
$\sum_{i = ۱}^{۳} \prod_{j = ۱}^{۳} a_{ij} = ۱$
$\prod_{i = ۱}^{۳} \sum_{j = ۱}^{۳} a_{ij} = ۰$
$\prod_{j = ۱}^{۳} \sum_{i = ۱}^{۳} a_{ij} = ۶$

4 پنج کسر

هر خط را به آنچه می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

5 یک خط، چند خوانش

هر خط را به مقدارش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

6 سیگما تا کجا می‌رسد؟

هر خط را به مقدارش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

7 چهار عملگر بزرگ

هر خط را به آنچه می‌گوید وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

8 یکی که یک بار اضافه می‌شود

این باید بگوید: برای i از ۱ تا ۴، i را جمع بزن و بعد ۱ را یک بار به مجموع اضافه کن. مقدار ۱۱ است. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

9 جمع کسرها

این باید بگوید: نیم به‌اضافهٔ یک‌سوم برابر پنج‌ششم است. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

10 از درون به بیرون

این باید بگوید: ۲ منهای پرانتز ۳ منهای پرانتز ۴ منهای ۱. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

11 دو حلقه، یک مجموع

این باید بگوید: برای i از ۱ تا ۲ و j از ۱ تا ۳، i ضرب در j را جمع بزن. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

12 کدام حرف حرکت می‌کند؟

این باید بگوید: حد، وقتی n بزرگ می‌شود، از مجموع «۱ بر ۲ به توان i» برای i از ۱ تا n. یکی از کاشی‌ها غلط است.

روی کاشیِ غلط بزن.

13 دو مجموع، یک تفریق

هر مجموع را بخوان، بعد کم کن. مقدار چقدر است؟

$i = ۱ \sum ۴ i^{۲} - i = ۱ \sum ۴ i$

14 برجی از کسرها

از درون به بیرون کار کن. مقدار چقدر است؟

$\frac{۱}{۱ + \frac{۱}{۱ + \frac{۱}{۲}}}$

15 مجموعی که تا می‌شود

پرانتز کل تفاضل را داخل دامنه می‌برد. مقدار چقدر است؟

$i = ۱ \sum ۴ (\frac{۱}{i} - \frac{۱}{i + ۱})$

16 تکه‌های ریز بسیار

هر جمله به صفر میل می‌کند، ولی با بزرگ شدن n تعدادشان بیشتر می‌شود. حد چیست؟

$n \to \infty lim i = ۱ \sum n \frac{۱}{n}$

17 حاصل‌ضربی که تا می‌شود

چهار عامل را در هم ضرب کن. مقدار چقدر است؟

$i = ۲ \prod ۵ (۱ - \frac{۱}{i})$

18 میانگین

میانگین x۱ تا x n برابر مجموعشان تقسیم بر n است. آن را به‌صورت فرمولی برای x بار بنویس.

نوشتهٔ تو

19 همهٔ درایه‌ها

مجموع همهٔ درایه‌های جدول a با m سطر و n ستون را بنویس.

نوشتهٔ تو

20 پرانتز زیر خط کسر

۱۰ منهای پرانتز ۷ منهای ۳، همه تقسیم بر ۲، برابر ۳ است. آن را بنویس.

نوشتهٔ تو

21 نیم‌ها تا ابد

وقتی n بزرگ می‌شود، مجموع «۱ بر ۲ به توان i» برای i از ۱ تا n به ۱ می‌رسد. آن را با حد بنویس.

نوشتهٔ تو

22 یک خط کد

در یک سطر بنویس: ۱۲ تقسیم بر مجموع ۳ + ۱.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک عبارت بلند از خودت با یک کسر، یک مجموع و یک پرانتز بنویس. سپس به ترتیب بلند بگو اول چه را حساب می‌کنی، دوم چه را و سوم چه را.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

خواندن کسرِ مجموع‌ها

الفبا

داستان: نه گام کوچک

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 مجموع روی یک جدول

2 مجموع‌های جزئی بالا می‌خزند

3 حاصل‌ضرب یعنی «همه‌شان»

4 پنج کسر

5 یک خط، چند خوانش

6 سیگما تا کجا می‌رسد؟

7 چهار عملگر بزرگ

8 یکی که یک بار اضافه می‌شود

9 جمع کسرها

10 از درون به بیرون

11 دو حلقه، یک مجموع

12 کدام حرف حرکت می‌کند؟

13 دو مجموع، یک تفریق

14 برجی از کسرها

15 مجموعی که تا می‌شود

16 تکه‌های ریز بسیار

17 حاصل‌ضربی که تا می‌شود

18 میانگین

19 همهٔ درایه‌ها

20 پرانتز زیر خط کسر

21 نیم‌ها تا ابد

22 یک خط کد

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت