ریاضی را حرف بزن · سال‌های آخر مدرسه

جمع برش‌ها: انتگرال

انتگرال تعداد بسیار زیادی تکهٔ ریز را جمع می‌کند. مساحت‌ها را پیدا می‌کند و مقدارهایی را که با تغییر چیزها روی هم جمع می‌شوند.

پیش‌نویس: نوشتهٔ یک دستیار هوش مصنوعی؛ هنوز معلمی آن را بررسی نکرده است.

الفبا

هر نماد را همان‌طور که زیرش نوشته شده بلند بخوان.

$\int f (x) d x$ بخوان: انتگرال f(x) dxیعنی: تابعی که مشتقش f است: عکسِ مشتق‌گیری
$\int_{a}^{b} f (x) d x$ بخوان: انتگرال f(x) dx از a تا bیعنی: هرچه f بین a و b جمع می‌کند: مساحت زیر نمودارش
$F (b) - F (a)$ بخوان: F(b) منهای F(a)یعنی: F از a تا b چقدر زیاد شده است، که F پادمشتق (تابع اولیهٔ) f است
$[F (x)]_{a}^{b}$ بخوان: F(x) از a تا bیعنی: راه کوتاهِ نوشتن F(b) منهای F(a)
$f (x) d x$ بخوان: f(x) dxیعنی: یک برش باریک: ارتفاع f(x) و عرض dx، هرقدر که بخواهیم باریک
$+ C$ بخوان: به‌علاوهٔ Cیعنی: ثابتی نامعلوم: تابع‌های بسیاری مشتق یکسان دارند

داستان: پر کردن وان

زیرنویس:

روی هر سطر بزن تا کلمه‌هایش را ببینی.

$r (t) = ۲ t$ شیری را آهسته باز می‌کنند. در دقیقهٔ t آب با آهنگ r از t لیتر بر دقیقه می‌ریزد، که برابر ۲ در t است.
$r (t) d t = ۲ t d t$ در یک برش باریک از زمان، dt، شیر r از t ضرب در dt لیتر آب می‌ریزد.
$V = \int_{۰}^{۵} r (t) d t$ همهٔ برش‌ها را از دقیقهٔ ۰ تا دقیقهٔ ۵ جمع کن. این مجموع، V، یک انتگرال است.
$\int ۲ t d t = t^{۲} + C$ مشتق‌گیری را برگردان: انتگرال ۲t dt برابر t به توان ۲ به‌علاوهٔ C است.
$F (t) = t^{۲} V = [F (t)]_{۰}^{۵} = F (۵) - F (۰) = ۲۵$ F از t را برابر t به توان ۲ بگیر. آنگاه V برابر F از ۵ منهای F از ۰ است، یعنی ۲۵ لیتر.
$\frac{۱}{۲} \cdot ۵ \cdot ۱۰ = ۲۵$ با نمودار بسنج: مثلثی به عرض ۵ دقیقه و ارتفاع ۱۰. نصفِ ۵ ضرب در ۱۰ می‌شود ۲۵.
$\int_{۰}^{۳} ۲ t d t = [t^{۲}]_{۰}^{۳} = ۹$ پس از ۳ دقیقه، انتگرال ۲t dt از ۰ تا ۳ برابر ۹ لیتر است.
$\int_{۰}^{۶} ۲ t d t = [t^{۲}]_{۰}^{۶} = ۳۶$ وان ۳۶ لیتر جا دارد. انتگرال از ۰ تا ۶ برابر ۳۶ است؛ پس بعد از ۶ دقیقه پر می‌شود.
$\frac{۹}{۳۶} = \frac{۱}{۴}$ در نصف زمان، یعنی ۳ دقیقه از ۶ دقیقه، فقط یک‌چهارم آب در وان است.

این داستان با کلمه‌ها ۶۸۵ حرف است؛ با نمادها ۱۲۲.

بخوانش

چه می‌گوید؟

$\int_{۰}^{۴} f (x) d x$

$[F (x)]_{۱}^{۳}$

$\int ۳ x^{۲} d x$

$f (x) d x$

$\int_{۲}^{۶} v (t) d t$

$\int x^{۲} d x = \frac{x ^{۳}}{۳} + C$

$[sin x]_{۰}^{π}$

$\int_{۵}^{۱} f (x) d x = - \int_{۱}^{۵} f (x) d x$

$A = \int_{۰}^{۳} (x^{۲} + ۱) d x$

$۳ d t$

$F (۱۰) - F (۰) = ۵۰$

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

بنویسش

کدام نمادنویسی همین را می‌گوید؟

مساحت زیر f از ۱ تا ۵.

F از a تا b چقدر زیاد شده است.

انتگرال ۲x برابر x به توان ۲ به‌علاوهٔ یک ثابت است.

همهٔ بارانی که بین ساعت ۲ و ساعت ۸ باریده است، وقتی آهنگ باریدن r از t میلی‌متر بر ساعت بوده.

یک برش باریک از مساحت زیر نمودار g: ارتفاع g(x) و عرض dx.

F(x) از ۰ تا ۴.

همهٔ تابع‌هایی که مشتقشان ۴ در x به توان ۳ است.

مساحت زیر f از a تا b برابر F(b) منهای F(a) است، که F تابع اولیهٔ f است.

انتگرال ۲x dx از ۰ تا ۱ برابر ۱ است.

x را به توان ۲ برسان، ۳ را جایش بگذار، و حاصل جایگذاری ۱ را کم کن.

انتگرال یک بر x برابر لگاریتم طبیعی قدر مطلق x، به‌علاوهٔ یک ثابت، است.

شیری با آهنگ ثابت ۳ لیتر بر دقیقه آب می‌ریزد. آبِ ریخته‌شده از دقیقهٔ ۰ تا دقیقهٔ ۵ برابر ۱۵ لیتر است.

بسازش

کاشی‌ها را به ترتیب بزن. یکی از کاشی‌ها اضافه است.

انتگرال ۳ در x به توان ۲، dx، از ۰ تا ۲ برابر ۸ است.

F از ۴ منهای F از ۱ برابر است با انتگرال f(x) dx از ۱ تا ۴.

انتگرال x به توان ۲، dx، برابر x به توان ۳ بر ۳ به‌علاوهٔ C است.

انتگرال ۲x dx از ۱ تا ۴ برابر ۱۵ است.

F(t) از ۰ تا ۶ برابر F از ۶ منهای F از ۰ است.

حجم V برابر انتگرال r(t) dt از ۰ تا ۱۰ است.

چالش‌ها

معماهای خلاقانه‌ای که همهٔ نمادهای این فصل را به کار می‌برند. عجله نکن؛ ساعتی در کار نیست.

1 کدام تابع اولیه است؟

اینجا f(x) = ۲x و g(x) = ۳x² و h(x) = ۱ است، و F₁ = x² + ۱ و F₂ = x³ − ۴ و F₃ = x² + x و F₄ = x + ۹. هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$F_{۱}$	$F_{۲}$	$F_{۴}$
$f$	✓
$g$		✓
$h$			✓

تیک یعنی ستون تابع اولیهٔ سطر است: شیبش همان تابع سطر است.

$\int f d x = F_{۱} + C$
$\int g d x = F_{۱} + C$
$\int_{۰}^{۲} g d x = F_{۲} (۲) - F_{۲} (۰)$
$[F_{۱} (x)]_{۰}^{۳} = \int_{۰}^{۳} f d x$
$\int_{۰}^{۱} h d x = F_{۳} (۱) - F_{۳} (۰)$
$\int h d x = F_{۴} + C$

2 پنج شکل نوشتن یک شیر آب

شیری در دقیقهٔ t مقدار ۲t لیتر در دقیقه آب می‌ریزد. هر سطر را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

3 ترفند کروشه

این سطر باید نشان دهد انتگرال ۲x از ۰ تا ۳ چطور حساب می‌شود. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

4 ثابتِ گم‌شده

کدام پاسخ انتگرال بدون کران است؟

$\int ۵ d x$

5 بالا منهای پایین

کروشه را حساب کن.

$[x^{۳}]_{۱}^{۲}$

6 وان را پر کن

شیر در دقیقهٔ t مقدار ۲t لیتر در دقیقه آب می‌ریزد. با نماد بنویس که آب جمع‌شده در ۶ دقیقهٔ اول ۳۶ لیتر است. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

7 همهٔ پاسخ‌ها با هم

هر تابعی که شیبش cos x است، sin x به‌علاوهٔ یک مقدار ثابت است. آن را با نماد بنویس. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

8 چهار ساعت باران

در هر ساعت باران با آهنگ ثابت r باریده است، همان‌طور که جدول نشان می‌دهد (میلی‌متر بر ساعت). هر جمله را داوری کن: درست یا نادرست؟

	$r = ۰$	$r = ۲$	$r = ۵$
$۰ \leq t < ۱$		✓
$۱ \leq t < ۲$			✓
$۲ \leq t < ۳$			✓
$۳ \leq t < ۴$	✓

تیک یعنی در ساعتِ سطر، باران با آهنگ r ستون باریده است.

$\int_{۰}^{۴} r (t) d t = ۱۲$
$\int_{۱}^{۳} r (t) d t = ۱۰$
$\int_{۰}^{۱} r (t) d t = \int_{۳}^{۴} r (t) d t$
$\int_{۳}^{۴} r (t) d t = ۰$
$\int_{۰}^{۲} r (t) d t = ۱۰$
$\int_{۴}^{۰} r (t) d t = - ۱۲$

9 پنج انتگرال شبیه به هم

همان نماد، تغییرهای کوچک. هر کدام را به معنایش وصل کن.

روی یک سطر بزن، بعد روی معنایش.

10 ثابتی که گم شد

این باید همهٔ تابع‌هایی را بدهد که مشتقشان ۳x² است. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

11 بالا و پایین

این سطر باید انتگرال ۲x از ۱ تا ۳ را حساب کند. یکی از کاشی‌ها غلط است. پیدایش کن و درستش کن.

روی کاشیِ غلط بزن.

12 خواندن کیلومترشمار

تندی یک گاری v = ۳t² است. در ۲ ثانیهٔ اول چقدر راه می‌رود؟

$v (t) = ۳ t^{۲}, \int_{۰}^{۲} v (t) d t = ?$

13 کروشه‌ای با کسینوس

کروشه را حساب کن.

$[cos x]_{۰}^{π} = ?$

14 ثابت را مشخص کن

F تابع اولیهٔ ۲x است و F(۱) = ۵. کدام تابع F است؟

$\int ۲ x d x = F (x), F (۱) = ۵, F (x) = ?$

15 مسافت از تندی

با نماد بنویس: مسافت پیموده‌شده از زمان a تا زمان b انتگرال تندی است و برابر تغییر مکان است. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

16 دو قانون کران‌ها

با نماد بنویس: انتگرال روی بازه‌ای بی‌عرض صفر است، و جابه‌جا کردن کران‌ها علامت را برمی‌گرداند. بعد مقایسه کن.

نوشتهٔ تو

داستان خودت را بگو

یک داستان سه‌خطی بنویس دربارهٔ مقداری که با تغییر یک آهنگ روی هم جمع می‌شود؛ با یک انتگرال و F(b) منهای F(a). بعد آن را بلند بخوان.

فقط روی همین دستگاه نگه داشته می‌شود.

جمع برش‌ها: انتگرال

الفبا

داستان: پر کردن وان

بخوانش

بنویسش

بسازش

چالش‌ها

1 کدام تابع اولیه است؟

2 پنج شکل نوشتن یک شیر آب

3 ترفند کروشه

4 ثابتِ گم‌شده

5 بالا منهای پایین

6 وان را پر کن

7 همهٔ پاسخ‌ها با هم

8 چهار ساعت باران

9 پنج انتگرال شبیه به هم

10 ثابتی که گم شد

11 بالا و پایین

12 خواندن کیلومترشمار

13 کروشه‌ای با کسینوس

14 ثابت را مشخص کن

15 مسافت از تندی

16 دو قانون کران‌ها

داستان خودت را بگو

دانلود برای استفاده بدون اینترنت